5-8. ДВУХПРОВОДНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ЛИНИИ

Параметры любой радиотехнической т-ш L, С я R (определяющие ее физические свойства) в общем случае распределены вдоль цепи. Каждый элемент цепи обладает некоторым сопротивлением AR, индуктивностью AL и емкостью АС (относительно других элементов). Однако в большинстве случаев при работе на не слишком высоких частотах представляется возможным (без внесения существенных погрешностей) отвлечься от того, что параметры распределены вдоль цепи, и, анализируя происходящие в ней процессы, считать, что суммарные ее параметры сосредоточены (локализованы) в определенных сечениях цепи. Это существенно упрощает изучение физической картины происходящих в цепи процессов и математическое их описание.

Приняв указанное доущение, можно считать, что действующие в цепи напряжения и протекающие в ней токи становятся функциями лишь одного переменного времени н не зависят от координаты сечения цепи. При этом процессы изменения этих величин теряют волновой характер и становятся чисто колебательными , анализ их базируется на решении дифференциальных уравнений (или систем дифференциальных уравнений) в полных производных.

На возможности такого допущения основан анализ цепей с сосредоточенными параметрами, изложенный выше (см. § 5-2-5-7).

Цепи, в которых волновой характер процессов представляет основу полезных функций, а замена распределенных параметров цепи их сосредоточенными эквивалентами приводит к потере основны.\ ее свойств, называются цепями с рассредоточенными параметрами.

Анализируя процессы, происходящие в таких цепях, следует учитывать, что напряжения и токи в них являются функциями не только времени, но также и координаты сечения цепи и в связи с этим описываются дифференциальными уравнениями или системами дифференциальных уравнений в частных производных.

В радиотехнической практике системы с распределенными параметрами чаще всего реализуются в виде длинных линий и волноводов.

рас-(т. е.

ми: индуктивностью L, емкостью С, продольным активным сопротивлением R и активной проводимостью G между проводами линии, обусловленной, например, несовершенством изоляции. В соответствии с этим любой бесконечно малый отрезок линии длиной А1 может быть представлен эквивалентной схемой (рис. 5-34), в которой AL, АС, AR и AG представляет собой соответственно индуктивность, емкость, сопротивление и проводимость этого отрезка линии. Если эти первичные параметры распределены по длине линии равномерно

-А1 -н --i-i-

Рис. 5-34. Эквивалентная Рнс. 5-35. Эквива-схема отрезка А/ линии, лентная схема отрезка и линии без потерь.

не зависят от того, в каком сечении линии выбран элемент А1), то линия называется однородной. В противном случае она относится к классу неоднородных линий.

Для однородных линий удобно введение погонных параметров: i-o. Со, Rq, Go, т. е. отнесенных к единице длины (например, L=lLo, где / - длина линии).

В ряде технических приложений при рассмотрении процессов в линиях представляется возможным пренебречь потерями энергии, что дает возможность исключить из рассмотрения погонное сопротивление Ro и погонную проводимость Ос. Такие линии называются линиями без потерь.

Для эквивалентной схемы отрезка такой линии, имеющего бесконечно малую длину А1 (рис. 5-35), справедливы следующие очевидные равенства:

dx = - dC

du = --dx = дх

- dL

ди dt

EL dt

(5-21)

Учитывая, что dC=dxCo и dL=dxU, предыдущие равенства можно записать:

Однородные линии без потерь

Системы первичных и вторичных параметров. Открытая двухпроводная линия представляет собой систему двух параллельно расположенных проводников, протяженность которых соизмерима с длиной рабочей электромагнитной волны или значительно ее превосходит. Физические свойства такой линии определяются четырьмя распределенными вдоль ее длины параметра-

дх ди дх

-Со -Lo

dt di

(5-22)

Преобразуя выражения (5-22), легко получить волновые уравнения (содержащие только напряжение и н ток i). представля-

ющие основу для анализа происходящих в линиях процессов:

дх t)2 dt

= 0;

= 0;

(5-23)

здесь

V == llVu Со

Рещения этих уравнений зависят от начальных и граничных условий. Эти уравнения представляют собой дифференциальные

Рис. 5-36. Распространение сигнала в линии без потерь.

фавнения гиперболического типа. Важное обпдее их свойство состоит в том, что решениями этих уравнений могут быть функции вида

u(x,i) = h

\ V j Пх, t) = ft -j ,

(5-24)

где fi и fa -любые дважды дифференцируемые функции.

С физической точки зрения каждому из выражений (5-24) соответствует два возмущения, т. е. две волны напряжения и(х, t)

Рис. 5-37. Бесконечно длинная линия.

или две волны тока i{x, t), распространяющиеся вдоль линии в противоположных направлениях с одинаковыми (по модулю) конечными скоростями, величина, которых зависит от первичных параметров линии (Lc, Со, Ro, Go). Таким образом, если неограниченно длинная линия с равномерно распределенными параметрами возбуждена в некотором сечении х=0 в момент времени =0 напряжением U(t), имеющим, например, форму прямоугольного импульса, то распределение напряжения (и соответственно тока) в линии в моменты времени i>0 и t2>ti будет характеризоваться эпюрами, приведенными на рис. 5-36,

Если бесконечно протяженная однородная линия является нагрузкой для включенного в сечении х=0 генератора синусо-

идального напряжения u-Uoe (рис. 5-37), то вдоль линии со скоростью v будет распространяться синусоидальная волна напряжения и в установившемся режиме напряжение между проводами линии в произвольном ее сечении x=Xi определится выражением

и(х1, 0 = [/ое -Р.

С волной напряжения и{х, t) связана волна тока i{x, t), причем между напряжением, током и параметрами линии нетрудно установить следующее соотношение:

т, X).

Таким образом напряжение и ток в произвольно выбранном сечении линии X=Xi в рассматриваемом случае будут определяться выражениями:

и {Xi, t) = и о sin (со - р xi);

i {xi, t)= - sin (CO t- xi);

(5-25)

здесь p=cu/t) называется коэффициентом фазы и представляет собой важный характеризующий линию параметр.

Выражения (5-25) показывают, что в рассматриваемом случае напряжение и ток в любом сечении линии xXi изменяются по синусоидальному закону и характеризуются амплитудой и частотой, совпадающими с амплитудой и частотой соответствующих входных величин (Uo, со), однако запаздывают по фазе относительно входного напряжения (тока) на угол Xi. Таким образом, коэффициент фазы р есть величина, определяющая изменение фазы колебаний на единице длины линии.

Отношение напряжения к току в произвольно выбранном сечении линии (вычисленное в предположении, что вдоль линии распространяется лишь одна волна напряжения и одна волна тока) относится также к важным параметрам линии и называется волновым сопротивлением линии. Это сопротивление в однородных линиях без потерь представляет собой чисто активную, не зависящую от координаты и частоты величину, определяющуюся лишь значениями погонных параметров линии.

Это сопротивление обозначается буквой W и связано с величинами погонных параметров линии соотношением

1Г =

Lo Со

Величины V =11 VLoCo , P=cu/t) образуют систему вторичных параметров линии. Следует отметить, что зна-

чения вторичных параметров не зависят от длины отрезка линии и определяются лишь ее конструктивными характеристиками. Вторичные параметры линии иногда называются волновыми параметрами.

Линии конечной длины. Отражения. Если отрезок однородной линии длиной I нагружен на конце (х=1) сопротивлением 2н и питается в начале (к=0) генератором синусоидальной э. д. с е=Еътч)1 с внут-

Рис. 5-38. Отрезок линии, нагруженный на произвольное сопротивление.

ренним сопротивлением Як, то установившийся процесс в линии в соответствии с выражением (5-24) может быть представлен в виде двух бегущих синусоидальных волн напряжения, распространяющихся в противоположных направлениях с равными (по модулю) скоростями (рис. 5-38). С каждой волной напряжения связана волна тока. Волна, движущаяся в сторону нагрузки, называется прямой (падающей), а волна, движущаяся в противоположном направлении, - обратной (отраженной). Возникновение отраженной волны обусловлено отражением энергии падающей волны от включенного в сечении х=1 нагрузочного элемента Zh.

Отношение амплитуды отраженной волны напряжения к амплитуде падающей волны напряжения £/отр/£/пад в месте включения нагрузки называется коэффициентом отражения по напряжению и связано с волновым сопротивлением линии и сопротивлением нагрузки соотноше- нием

Ри =

Zh + W

(5-26)

Отношение амплитуды отраженной волны тока к амплитуде падающей волны тока в том же сечении линии х-1 носит название коэффициента отраженияпо току и определяется выражением

W-Z

= - Ри. (5-27)

/над W-}-Z

Коэффициенты отражения по напряжению и току в общем случае являются комплексными величинами и могут быть охарактеризованы модулем и фазой соответствующего коэффициента отражения.

Отношение входного напряжения i/(0, f)

к входному току /(О, t) отрезка линии, вычисленное с гчетом падающих и отраженных волн, называется входным сопротивлением линии

Znx -

(5-28)

/(0,0

При исследовании процессов в линиях используется и понятие о входном сопротивлении линии в сечении x=Xi. Под этой величиной понимается отношение напряжения, действующего между проводами линии в сечении x=Xi, к току, протекающему через это сечеиие в сторону нагрузки.

Если отрезок однородной линии без потерь длиной I нагружен на конце (х=1) сопротивлением Zh, то его входное сопротивление в сечении x=Q (в начале линии) определяется выражением

Zrx -

пад+ иргр /пад+ /отр

1+;: TtgP

£н

1+/ - tgp/

(5-29)

В отличие от волнового сопротивления линии ее входное сопротивление учитывает как прямые, так и обратные волны. В общем случае входное сопротивление является комплексной величиной, зависящей от частоты питающего линию источника э. д. с, длины отрезка линии, ее волнового сопротивления и условий нагруз-к и.

Для уяснения происходящих в линии процессов полезно рассмотреть несколько наиболее характерных частных случаев. Пусть генератор синусоидального напряже-

ния u=Uoe с внутренним сопротивлением, равным волновому сопротивлению линии W, питает отрезок линии длиной /.

Отрезок линии нагружен на конце (х=1) активным сопротивлением, равным волновому сопротивлению линии (рис. 5-39). При этом ри=Рг=0. Энергия прямой волны целиком рассеивается на нагрузочном сопротивлении Rs. Напряжение и ток во всех сечениях линии изменяются по синусоидальному закону, причем их амплитуды не зависят от координаты. Фаза колебаний в сечении x=Xi отстает от фазы питающего линию генератора на величину, равную Ху. Такой режим работы линии называется р е-жимом бегущей волны. Входное сопротивление линии во всех ее сечениях оказывается при этом чисто активной величиной, равной волновому сопротивлению линии Zbx = W .

Конец отрезка линии замкнут накоротко (рис. 5-40). В этом случае согласно выражениям (5-26) и (5-27) р =-1; pi = l. Энергия не потребляется нагрузкой, и односторонний поток энергии в линии отсутствует. От короткозамкнутого конца линии в сторону ее начала распространяются обрат-