Полный отклик на основании метода наложения найдем суммированием всех элементарных откликов:

Ы2 (0 = 1 Ф1 dw. (5-6)

с другой стороны, отклик Uiit) сам по себе может быть представлен интегралом Фурье

2(<) = Ф(m)e d({

где Ф2(в)-спектр отклика.

Сравнивая последние выражения, полу- чаем:

ф2(ш)=:/С(/ш)Ф1((а). (5-7)

т. е. спектр отклика цепи равен спектру воздействия, умноженному на коэффициент передачи цепи.

Метод интеграла Фурье был изложен иа примере отыскания напряжения на выходе цепи (отклик) по напряжению иа входе (воздействие). В общем случае воздействие x{t) и отклик y{t) могут быть током и напряжением. При этом

Фу(а) = КЦа)Фх (ю),

где Фг,(<а) и Ф%{(й) -соответственно спектры отклика и воздействия; /С(Усо) -передаточная функция.

Математический смысл передаточной функции остается прежним: она представляет собой отклик цепи на синусоидальное воздействие с частотой (<о) и единичной амплитудой. Но физический смысл этой функции варьируется в зависимости от физического смысла воздействия x{t) и отклика y{t).- Если и воздействие и отклик являются напряжениями (токами), то передаточная функция называется коэффициентом передачи напряжения (тока). Если воздействием является напряжение, а откликом - ток, то передаточная функция называется проводимостью передачи. Если же воздействием является ток, а откликом напряжение, то передаточная функция называется сопротивлением передачи.

Метод интеграла Дмамеля

Воздействие любого напряжения u(t) на линейный пассивный двухполюсник (рис. 5-6) или четырехполюсник (рис. 5-1) можно представить как последовательность элементарных скачков напряжения (рис. 5-7), имеющих величину

Дм Дт tg а = Дт (т)

и смещенных один относительно другого на интервалы Дт.

Если скачок напряжения единичный, т. е. включаемое напряжение постоянно в равно единице, то вызванный им ток

i{t) = h{t)

называется переходной проводимостью.

Рнс. 5-6. Подключение двухполюсника к источнику напряжения.

ulty

Рис. 5-7. К методу интеграла Дюамеля.

Зиая переходную проводимость h{t), можно найти составляющие тока, вызванные начальным скачком:

[u(0)h{t)l

а также любым элементарным скачком Дм, включаемым в момент т:

huh (t - x)= и (т) ДтЛ (/ - t).

Здесь переходная проводимость имеет аргумент t - т, так как элементарный скачок начинает действовать на цепь па время т шиздиее, чем начальный.

Чтобы определить ток в момент времени t, необходимо сложить составляющие тока От начального гкачкэ и от всех элементарных скачков. Переходя после этого к пределу при Дт-*0, получим формулу Дюамеля

i (О = (0) А (t) + J (т) h{t~x) dt.

Эта формула была получена иа примере отыскания тока (отклик) по известному напряжению (воздействие). В обшем случае воздействие и отклик могут быть как током, так и напряжением. В соответствии с этим меняется физический смысл функции h(t), которая в общем случае называется переходной функцией. Математический смысл переходной функции остается прежним: оча представляет собой отклик системы иа единичное воздействие (единич-

ный скачок)- Но физический смысл этой функции варьируется в зависимости от физического смысла воздействия x[t) и отклика y{t) в формуле Дюамеля:

y(t)=x (0) h (t) + ]х (т) ft - т) dr. (5-8)

Если в этой формуле и воздействие x{t) и отклик y(t) являются напряжениями (токами), то h{t) называется переходной функцией напряжения (тока). Если же воздействием является ток, а откликом напряжение, то h{t) называется переходным сопротивлением.

Формула Дюамеля путем замены переменной интегрирования и интегрированием по частям может быть представлена и в других формах записи: i

y(t)=x (0) h (t) + Jx (t-x)h (T) dx:

y{t)h(0)x{i) +

Jft {t - x)x

(X)dx;

(0 = A (0) a: (0 -f [ ft (T) x{t-X) dx;

y(t)=-\x(t~x)h(x)dxi (5-9)

-x)dx.

Таким образом, задача определения отклика y(t) на воздействие x(t) в данном методе сводится к отысканию переходной функции h(t) и интегрированию по одной из формул Дюамеля, вид которой выбирается так, чтобы максимально упростить интегрирование.

Выше предполагалось, что при /<0 воздействие н(/)=0. т. е. метод интеграла Дюамеля особенно удобен .тля исследования п е -реходных пр.щессов, возникающих после начала воздействия (/=0). Но начало воздействия можно отнести к любому моменту to, положив нижний предел интеграла Дюамеля равным не нулю, а to.

Частотные и временные характеристики цепи

Обозначив функцией x(t) воздействие, а функцией y(t) отклик, представим интеграл Фурье и интеграл Дюамеля (при нулевом начальном скачке) в виде

4(0= f /С(со)ФЛ )е йоз,

y(t)==x {X)h{t-X)dX.

Здесь функции x{t) и (ш) являются временным и спектральным представлением воздействия (см. § 2-2 и 2-3), а функции h(t) и К(/w) - соответственно временной и частотной характеристиками цепи. Поскольку две последние функции являются характеристиками одной и той же системы, одна из них может быть выражена через другую.

Для установления связи между частотными и временными характеристиками цепи используем понятие дельта-функции, введенное в § 1-10 (пример 5):

где сГо(0-единичная функция, представляющая воздействие в виде единичного скачка (см. рис. 1-54); 6(0 -дельта функция, представляющая воздействие в виде единичного импульса (см. рис. 1-56).

Откликом цепи на единичный скачок умиляется переходная функция h(t), а откликом на единичный импульс является импульсная функ1и1я (весовая функция, импульсная реакция)

которая также относится к временным характеристикам це1и-1.

Поскольку спектральная плотность единичного импульса постоянна (см. § 1-13, пример 2)

Фб ( )=1.

отклик системы на единичный импульс (импульсная реакция)

£(0=-- J к (/co)e < dcD,

Т. е. передаточная функция К{1и\) является спектром импульсной реакции j?(0:

К(/со)= J g{t)e-*dt.

Таким образом передаточная функция и импульсная реакция связаны между собой преобразованиями Фурье.

При отыскании передаточной функции цепи следует составить дифференциальное уравнение цепи (см. § 1-9)

и, воспользовавшись методом комплексных амплитуд (см. § 4-6):

заменить в дифференциальном уравнении операции дифференцирования соответствующими степенями от /со, так как для синусоидальных напряжений

и = (j(af и.

В результате получается выражение для определения передаточной функций цепи:

Ui о U<i>f Н-----ha

При отыскании переходной функции также исходят из дифференциального уравнения цепи, но записывают его в операторной форме (т. е. производные заменяют степеня- ми оператора р). В результате получается выражение для операционного коэффициента передачи

оригиналом которого является переходная функция

h(t)K{p).

Пример 4. Определим коэффициент передачи и переходную ф>нкцию цепи, содержащей активное сопротивление, индуктивность и емкость (см. рис. 1-42).

Будем исходить из дифференциального уравнения цепи, составленного в § 1-9 (пример 3). Заменяя производные на степени /со и р, получим

R 1 \

т. е. коэффициент передачи напряжения цепи

- (0 -f /2аи

J

операционный коэффициент передачи К{р) =

p2 + 2ap-f 2

а = -

; 0=

/ LC

Воспользовавшись второй теоремой разложения Хевисайда (см. § 1-10), получим выражение для переходной функции напряжения Л (О К(р) I а

\ч>1

sin coi -f- cos (uit

1 - e~* COS coj t (при f > 0 и a С cOi)

и импульсной реакции

dh о

e~ sin coi t

X sin (при f > 0 и a С coj).

( co2 -f /со + - \ L LC

2 2

cOq-a .

Таблица 5-1

Операционные соотношения между напряжениями и токами в элементах цепи

Элемент цепи

Соотношение между током и напряжением

Операционные соотношения

при ненулевых начальных условиях

при нулевых начальных условиях

it) = Ri (t)

и (p) = RI (p)

и (Pi = RI (p)

-rv>oo-i

i (t) = .-(O) +

U(p)=pU (p)-U(0)

Hp)=±t (0)+ - U (p) P pL

и (p) = pU (P)

Ht) = C

da (t) dt

(O = {0)-b - С

- { Ht) df

Hp) = pCt/ (p) - Ca (0)

t/(p) = .L {0)-b4r<p> P pc

U(p)-

iipi