Метод контурных токов

В любой разветвленной цепи можно выбрать взаимно независимые контуры так, чтобы одна из ветвей люоого контура входила только 3 этот контур. Если после этого воснользоваться первой системой уравнений Кирхгофа для иск.1Юче1И1Я нз второй системы уравнений Кирхгофа ток->в тех ветвей, которые являются общими для нескольких контуров, то в результате можно получить систему уравнений только с теми токами, которые не являются общими для нескольких контуров. Можно считать, что каждый из этих токов замыкается в одном из контуров, и назвать эти токи контурными токами. Напряжение на любом юпротивлении цепи равно алгебраической сумме напряжений, обусловленных контурными токами своего и смежных контуров. Действительные токи в ветвях, общих для нескольких контуров, равны алгебраической сумме контурных токов.

Если цепь содержит генераторы э. д. с. и генераторы тока, то их можно заменить эквивалентными генераторами э. д. с. (см. § 4-3). После STOrJ вводятся контурные токи и составляется вторая система уравнений Кирхгофа для определения этих токов. Действительные токи в ветвях без генераторов тока определяются алгебраическим сум.мированием только контурных токов, а в ветвях с генераторами тока к эткя суммам добавляются еще токи генераторов тока.

Если токи и напряжения выражаются комплексными амплитудами (или операционными изооражениями), то каждое уравнение имеет вид

lZjiii = Si. (5-2)

где i - номер уравнения в системе, определяемый номером обходного контура;

Sj- суммарная э. д. с. действующая в этом контуре /;

- контурный ток контура с номером i;

Zji=Zij-взаимное сопротивление контуров с номерами j и i (т. е. входящее в оба контура); Zjj - собственное сопротивление контура /.

Число уравнений равно числу независимых контуров 1 = Ь-(с-1), где - число ветвей в цепи, с - число узлов - точек разветвления.

Если внешняя э. д. с. S, действует только в одном контуре /, то контурный ток любого контура / определяется формулой Крамера

ll-Sj, (Б-2а)

где D - главный определитель системы уравнении;

Dj - его алгебраическое дополнение, равное произведению (-!)+ на минор, получаемый путем вычеркивания в определителе D строки j и столбца L Если э. д. с. действует в нескольких контурах, то ток в контуре i .

(5-26)

Пример 2. Для схемы на рис. 5-4 в каче. стве независимых контуров можно выбрать два соприкасающихся контура, а за поло-

Рис. 5-4. К примеру 2.

жительное направление контурных токов - направление по часовой стрелке.

Вторая система уравнений Кирхгофа в данном случае примет вид:

Zo Ki + Zi (/к1 - /кг)

ZzlfiZ + Zi (/к2 - /ki) = 0.

Решая эти уравнения относительно контурных токов, получим:

Zy + Zz

ZqZ + ZuZz -\- Z\Zz Zv

Zi:Z\ -\- ZZz -\- Z\Zz

Действительные токи, протекающие по сопротивлениям Zo, Zi и Zj, соответственно равны:

; / i. +

ZuZx -)- Z0Z2 -\-Z1Z3 Z.

2 = /к2 =

ZuZi -b ZuZz -f- ZiZi Zx

ZfX -\- Z0Z2 -- ZiZ2

Если в цепи имеется п узлов и т независимых контуров, то метод контурных токов иелесообра чио исполь.ювать при (п-1)>т, э метод узловых потенциалов - при (п-1)<т.

Метод эквивалентного генератора

Любая разветвленная цепь, содержащая один или несколько источников и имеющая два выходных зажима Л и Б, может

быть заменена одним, ие имеющим внутреннего сопротивления генератором, создающим напряжение й.х, и одним последовательным сопротивлением Z .b. Напряжение Lx.i генератора равно напряжению между зажимами А а Б при холостом ходе, т. е. при отключенной нагрузке. Сопротивление Zk.b равно сопротивлению, измеряемому между зажимами А и Б при отключенной нагрузке, при короткозамкнутых генераторах э. д. с. и при разомкнутых генераторах тока (внутренние сопротивления или проводимости источников при этом должны сохраняться в схеме).

Пример 3. Для определения тока 1 в сопротивлении Zs (рис. 5-5, й) можно считать

Иногда удобнее пользоваться методом, эквивалентного генератора, согласно которому разветвленная цепь, содержащая один или несколько источников и имеющая два выходных зажима А и б, может быть заменена одним, не имеющим внутренней проводимости генератором тока, создающим

ток лк.з,

и одной параллельной (щунтирую-

щей) проводимостью Ух.х- Ток /к.з равев току между зажимами при их коротком-замыкании. Проводимость У.х равна проводимости, измеряемой между зажимами Л и Б при отключенной нагрузке, при короткозамкнутых генераторах э. д. с. и при разомкнутых генераторах тока.

Метод матричных преобразований

Рис. 5-5. К примеру 3.

Если источники и сопротивления раз-

!ветвленной цепи заданы, то для отыскания -4 токов во всех ветвях цепи необходимо решать полную систему линейных уравнений, составленных на основании законов Кирхгофа. Если же требуется отыскать ток лишь в одной ветви, то имеет смысл использовать метод эквивалентного генератора.

Однако возможен и промежуточный случай, когда необходимо определить токи 1 лишь в нескольких ветвях достаточно слож- ной разветвленной цепи.

В этом случае могут быть полезны матричные преобразования.

Запишем систему линейных уравнений цепи:

коипы этого сопротивления за выходные зажимы и найти напряжение холостого хода (рис. Б-Б, е)

t/xx = ---

Zo--Zl

и сопротивление короткого замыкания (рис. 5-5, г)

Zo-bZx

Из эквивалентной схемы (рнс. 5-5,6) найдем:

t/l = Zl/l--...--Z ;

(5-3)

в матричном представлении (см. § 1-16)

lf/ = lZ/. (Б-За)

Если требуется найти лишь т неизвестных токов li, h, Im, то матрицы имеют смысл представить в виде

{Z +Z)\4+Z,

Zo + Zi

Z(jZi -- ZoZa -- ZiZj

Аналогично может быть определен ток в любом другом сопротивлении цепи.

Um+i

11/11 =

/m+1

В этих выражениях матрицы Ui, Un, /j, /jj, Zj, Zjj, Zjjj и Zjy предстзвляют собой части первоначальных матриц U Ц, I Л и Zli, а волнистая черта - лишь знак мысленного разделения первоначальных матриц на части.

Следовательно, систему уравнений можно представить в виде

Используя правила умножения матриц (см. § 1-16), отсюда получаем систему;

t/i=Z, /,--ZJ/JI;

11=111 1 +IV 11

из которой можно исключить не интересующую нас матрицу /ц с неизвестными токами / + .., / .

Из второго уравнения находим

/it - Zttt t/n ZTr Z

III Л

и подставляем в первое уравнение

t/j = Zj/j-b2jjZrvt/ -

- Zjj Zy Zjjj /j.

В результате получаем систему из т уравнений

f/j - Zjj Zy t/,j = = ( Zj - Zj, Zjv Z,j[) /

которая не содержит токов Im+i, In и может быть решена с помощью формулы Крамера (§ 1-16),

В полученном выражении Z обозначает обратную матрицу (см. § 1-16).

Метод интеграла Фурье

С помощью метода интеграла Фурье (см. § I-I2) можно, зная спектр воздействия на линейную цепь, находить спектр отклика цепи. Напряжение Ui(t), воздействующее на вход цепи, может быть представлено в виде суммы

1 (t) =

J 2Я

Ф1(со) edto (5-4)

бесконечного числа синусоидальных колебаний

dui (t) = Ф1 ( ) е da = dUie *

с бесконечно малыми амплитудами

dUi=~Oi{(o)d(u 2я

и с бесконечно малыми интервалами da> по частоте.

Здесь функция

©1 (со) = J 1 (t) е- dt (5-5) * -00

носит название спектральной плотности амплитуды (см. § 1-12) или спектра воздействия.

Если для любой, частоты известен коэффициент передачи цепи

/С(/ )=-г-.

то по амплитуде элементарного воздействия dui{t) может быть найдена амплитуда элементарного отклика;

duz (0= dt/ac ;

dUz=K{MdUi.

Следовательно, элементарный отклик d B(0=

K(ja)(Di(a))e * da.