L разностным оператором hn- Необходимо, чтобы при fi о эта по-погрешность стремилась к нулю

Для оценки порядка погрешности разложим и \х) в окрестности точки X - Xi по формуле Тейлора:

yi±,Ui±hUio(h)

и вычислим погрешность

Отсюда следует, что разностный оператор Л(/г аппроксимирует LL = и с первым порядком точности.

Вторая производная LU = U аппроксимируется на трехточечном шаблоне, состоящем из узлов Xi i, Xi, xi + i. Тогда

Ut+,-2Ui + Ui-,

AhLli =-

x k, t

Оператор V- аппроксимирует , X, i

U CO вторым порядком.

Для аппроксимации четвертой производной LU = и выбирается пятиточечный шаблон, состоящий из узлов ± М (fe = О, ± 1, ±2) Тогда разностный оператор

. * x xxx, I

Ui .-Wi-, + Wi-Wi+, + Ut+

аппроксимирует LU = {/ со вторым порядком.

На практике аппроксимация производных на многоточечных шаблонах используется редко, так как при увеличении шаблона обычно увеличивается объем вычислительной работы и ухудшается устойчивость разностной схемы

В дальнейшем используются обо--/значения

\ui=(Ui+,-Ui)lhi+u V-=(Ui+,-Ui ,)l2h=

Постановка разностных задач. Аппроксимация, сходимость и устойчивость. При аналитическом решении конструкторских задач .фи-

зическая модель объекта рассматривается как некоторая область G с границей S, в которой ищется решение линейного дифференциального уравнения

LU = / (л:), X G, (8.116)

удовлетворяющее дополнительным (краевым или начальным) условиям

Ш = [I {х), X S.

(8.117)

где f (х) и IX (х) - заданные функции, / - некоторый дифференциальный оператор.

Область G -f S непрерывного изменения аргумента заменяется множеством ш,1 внутренних узлоа и множеством Tj граничных yзлoJ сетки (й = (ufi -\- Tfi. Граничной задаче (8.116), (8.117) ставится в соответствие разностная задача

Jyh = 4>h, при X ш;

1нУк=Щ, X Th, (8.118)

где (л:) и Kfi {х) - известные

сеточные функции; и , - разностные операторы, действующие на сеточные функции i/,-.

Погрешность разностной схемы (8.118) равна

h=yh-Oh-

Подставив i/h = + t/fi в (8.118), получим задачу для г/,:

AhZh = il!h, X ш;

(8.119)

где = Ah Uh, VhVh-lhUh-

Правые части if/, и задачи (8.1 9) называются погрешностью аппроксимации задачи (8.116), (8.117) разностной задачей (8.118).

Говорят, что разностное уравнение (8.118):

1) аппроксимирует дифференциальное уравнение (8.116) по норме II II , если И II = II Ah(/ -фьН -

- О при h - 0;

2) аппроксимирует дифференциальное уравнение с порядком п {п > 0), если I111) II = О (Л ) или II ф 11 < Mh , где М = const > О и не зависит от h.

Решение разностной . задачи (8.118):

1) сходится к решению исходной задачи на сетке ш, если Ц = = \\Уп- UhW - О при

2) сходится к решению исходной задачи (8.116), (8.117) со скоростью О (Л ), ге > О, если выполняется

II II = 11 yh-yh\\<M\h\ .

где М > О - постоянная, не зависящая от h

Знание порядка аппроксимации недостаточно для суждения о качестве схемы. Необходимо оценить точность схемы, т. е. порядок погрешности Zh = yh - t/ft- Погрешность Zh есть решение задачи (8.119), с правой частью ipj, и v/,. Поэтому вопрос о связи порядка точности с порядком аппроксимации сводится к вопросу о характере зависимости решения разностной задачи от правой части. Свойство непрерывной зависимости решения разностной задачи от входных данных tpf, и Kh называется устойчивостью схемы. При этом справедливо неравенство

11 ZhlKMdh 11 + 11 Vhll). (8.120)

Если схема устойчива и аппроксимирует исходну1д задачу, то она сходится, причем порядок точности (скорость сходимости) схемы совпадает с порядком аппроксимации.

Таким образом, изучение сходимости и порядка точности схемы сводится к изучению аппроксимации и устойчивости, т. е. к получению оценок вида (8.120), называемых априорными оценками [29].

Разностные схемы для уравнения теплопроводности

Явные и неявные двухслойные схемы. При расчете тепловых режимов РЭА часто ставится краевая задача в следующей формулировке: найти непрерывную в прямоугольнике D {О < X < I, О < < / < Г) функцию & = &(*:, 0. удовлетворяющую условиям:

0<х<г, 0<t <Т; (8.121)

д (0. О = Pi (О. * . о = Р2 (О: (8.122) #(j:, 0) = до(л;). (8.123)

Введем D в сетку со. = X X (0 = (Xj = ihr, tj = /т, t = = О, 1, Л; / = О, 1, yVo) с шагами h = Л/, т = TIN. Аппроксимируя производные

/ ад у+1

dt ]

и вводя сеточную функцию у{ =

= У tjh получим разностную краевую задачу

{/Г- г/1=Y 1 - { +yi+i)+

+ т(р + , 0</<Л/, />0;

Уо = Pl ih) У( = ?)5 y?=o{Xi). y=a T/h . Отсюда

{/j+=(l-2Y){/H V(/Li +

)-Ьт(р{+. (8.124)

Так как при / = О задано начальное условие yf = ©о (xj) то формула (8.124) позволяет определить от слоя / к слою / + 1 значения у{ во всех узлах сетки ш.., используя при этом краевые условия (8.122). Такая вычислительная схема (8.124) называется явной. Схема устойчива при условии aHih < 1/2 (рис. 8.9, а).

Неявная двухслойная схема для уравнения (8.121) имеет вид (рис. 8. 9, б)

г/1±{-2И+Ч?±!

Для определения yl на новом слое / -Н 1 получаем систему алгебраических уравнений вида

Уу1±\~{1+ 2v) f/i+ Ч w-1! =

= - /HV/. (8-125)

Рис. 8.9. Схемы шаблонов для явных (а) и неявных Гб) разностных схем

В отличие от явных схем, где каждое уравнение содержит одно неизвестное {/! , в уравнениях (8.125) имеется по нескольку значений, соответствующих искомому моменту времени / + 1 и различным точкам пространственной координаты Поэтому применение неявной схемы требует одновременного рещения системы N алгебраических уравнений Учитывая специальный вид матрицы коэффициентов этой системы, задача рещается методом прогонки [28] Неявная схема абсолютно устойчива и не накладывает никаких ограничений на величины щага по времени т и координате h.

Разностные схемы для уравнений Лапласа и Пуассона

При исследовании стационарного распределения электрического и магнитного полей, а также стационарного теплового режима РЭА обычно приходят к уравнениям Лапласа и Пуассона

At/ = 0, = -р.

где р - плотность источников заряда или тепла; U - потенциал; Д = д1дз? + dldy - двумерный оператор Лапласа.

Разностная аппроксимация оператора Лапласа. Каждая из вторых производных оператора Лапласа

заменяется разносгными выражениями

U(x+h,y)-W(x,y) + &> и +Щх~к у)

U(x, y + h)-2U {x,y)+ ±U(x y-h)

где hi - шаг no оси x, - шаг no оси у.

Оператор Лапласа заменяется разностным оператором Ау = у- -j-

-f который определен на пя-

титочечном шаблоне ( крест ), состоящем из точек (рис. 8.10)

(X. у) {X - hi. у), {X -f- hi, у), {X, у - Аа), (х, у + Ag).

Погрешность аппроксимации для оператора Л равна

Л6-Д{/=0(ЛГ), А2=/,?-Ь/г2.

Для случая Ai = Аа =j Л (на квадратной сетке)