где I - смещение (амплитуда) точки в момент t; Ё - модуль упругости; р - плотность материала стержня; f (х, () = F (х, i)/p - плотность силы, отнесения к единице массы; F (х, t) - внешняя сила.

Так как процесс колебаний стержня зависит от начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальные условия:

I {X, 0) = Ф (X) ; (8.82)

--(х, 0) = ф(х). (8.83)

Если задан закон движения концов стержня (х = О и X - D

I (О, t) = р, (О, 1 (/, О = Р2 (0.

то имеем граничные условия первого рода.

Если задан закон изменения силы, приложенной к концу стержня, то имеем граничные условия второго рода

РАО

= F(t), Е-

= 0 дх

х=1 (8.84)

1х (О, о = V, (0. 1х о = V2 It),

(V = FIE).

В случае упругого закрепления, скажем, для х = I.

(/, t) = -kl{l, t).

(l,l)==-hl(l.t),hklE,.

Это граничные условия третьего рода.

Для двух- и трехмерного случаев рассмотренные типы граничных условий имеют следующий вид:

= р (М, t) (первый тип).

(8.85) жесткости

где k - коэффициент закрепления. .

Если точка упругого закрепления движется по закону х (t), то граничный режим запишется для X = I в виде:

~(l,t)+h II (/,0-Р(0=0.

На другом конце (л; 0) рмеем -£-(0,0-Л [g (0.0--l5(/)] = 0..

:8,86)

i V (М. t) (второй тип) ,

= Р(М, о (третий тип).

Если функции, задаваемые в правой части р {t), v (О или Р (УИ, 0. равны нулю, то граничные условия называются однородными.

Таким образом, можно сформулировать краевые задачи для уравнения колебаний (8.81).

Первая краевая задача: найти функцию I (х, f), определенную в области О < д: < /, t > О, удовлетворяющую уравнению гиперболического типа

+f(x, t)

аля О < X < I, t > Q,

граничным g (О, О = Pi (0. I (/, /) = = Pa (О и начальным .условиям

I (х, 0) = Ф (д:), {X, 0) = ф (X).

Аналогично ставятся вторая и третья краевые задачи для уравнения (8.81), с учетом граничных условий (8.84) ... (8.86).

Для пространственных задач первая краевая задача ставится совершенно сходным образом:

требуется найти функцию I (М, t) = 1 {х, у, г. О, определенную при ; > О внутри заданной области D с границей S, удовлетворяющую при / > О внутри D уравнению

=с2Д?+ЙЛ1. О,

М(х,у.г)0, <>0.

граничному условию иа S

s=-. р(Р. 0. Р\. у. г) S.

8.7. Математические методы расчетов и начальным условиям 0)=ф(Л1).

(М, 0}=ii,{M}, М (X, у, z)D.

Решение проводится методом разделения переменных.

Уравнение поперечных колебаний стержней. В предположении, что отклонения точек оси стержня при поперечных колебаниях происходят в одной плоскости и являются малыми отклонениями (в смысле сохранения пропорциональности восстанавливающих сил), уравнение поперечных колебаний имеет вид

62 Е а* 5 EJ

дР дх pS

где J - момент инерции поперечного сечения стержня относительно центральной оси; Е - модуль упругости (модуль Юнга), S - площадь поперечного сечения.

В простейших случаях, когда конец стержня свободен или жестко закреплен, или шарнирно оперт, граничные условия выражаются следующими соотношениями:

а) конец стержня свободен, на таком конце равны нулю изгибающий момент и поперечная сила, следовательно

- = 0,

=0; .

(8.88)

б) конец стержня жестко закреплен, на таком конце равны нулю прогиб и угол поворота, т. е.

1=0,-

(8.89)

в) конец стержня свободно сперт (или закреплен шарниром), в этом случае равны нулю прогиб и изгибающий момент, т. е.

(8.90)

Таким образом, задача сводится к решению уравнения (8.87) с граничными .условиями (8.88) ... (8.90) и с начальными условиями (8.82), (8 83) и решается методом разделения переменных.

Р(х. у. t)

где с2 =-; f(x, у, f):

Т - натяжение пластины, F {х, у, () - внешняя сила, (х, у, {) - перемещение (амплитуда) точек пластины.

Если динамическая модель представляет собой упругую пластину конечной толщины 6, то в качестве расчетного уравнения берется дифференциальное уравнение 4-го порядка изгибных колебаний в перемещениях

дх ду

[8.91)

где D = £6/12 (1 - а) - цилиндрическая жесткость пластины; а - коэффициент Пуассона; у - удельный вес пластины; coq - собственные частоты пластины, подлежащие определению.

Граничные условия для прямоугольной пластины на краях, параллельных оси Оу, имеют вид:

1) если края свободно оперты, то

g-0.

I

= 0;

2) если края жёстко закреплены, то

1=и,

Л. дх

= 0;

3) если края свободны, то

да 5

-(2-а)--,\-=0. дхду

Уравнение поперечных колебаний пластин. Если в качестве динамической модели элементов конструкции РЭА принята свободно изгибающаяся однородная пластина (мебра-на), то справедливо для математической модели уравнение гиперболического типа:

Условия для краев, параллельных оси Ох, получаются из приведенных выше заменой х иа у и наоборот.

Если иа пластину действует внешняя гармоническая нагрузка интенсивности

F (х, у, /) = / (- С. у) sin со,

то уравнение форм вынужденных колебаний пластины запишется следующим образом:

DAn~ - (i>4~f(x, у)0, (8.92)

дхду ду

Решение задач (8.91) и (8.92) проводится методом разделения переменных.

Метод уравнения Лагранжа

Теоретической основой составления расчетных уравнений колебаний конструкции РЭА могут служить уравнения Лагранжа в обобщенных координатах. Существенным преимуществом этих уравнений для практических расчетов является тот факт, что они не содержат реакций связи и входящие в них величины, определяющие вибрации РЭА (обобщенные координаты, скорости и ускорения), непосредственно связаны с возмущающими (обобщенными) силами.

Уравнения Лагранжа для колебательной системы, с п степенями свободы имеют вид [21]:

d dt

( дТ \

. Sqk dQk dt

(fe=l, 2

n). (8.93)

Уравнения (8.93) носят название уравнений Лагранжа второго рода или уравнений Лагранжа в независимых координатах

Если обобщенные силы / }, являются потенциальными, т. е существует потенциал (потенциальная энергия) П = I] (t, gft) и f ft =

= -дП/dqk, ранжа

то уравнения Лаг-

Записываются в виде d dL dL

{k = \, 2..... ),

= 0.

где L = r - П.

Функция L называется функцией Лагранжа или кинетическим потенциалом.

Малые одномерные колебания конструкции РЭА. Кинетическая и потенциальная энергии системы с одной степенью свободы вычисляются по формулам

(i = dlldt),

где т - масса тела; Ъ, = q - q - отклонение координаты 17 от ее равновесного значения qa, k - коэффициент жесткости.

Функция Лагранжа для системы, совершающей одномерные малые колебания, имеет вид

L = mi42-lil l2.

Соответствующее этой уравнение Лагранжа

/.. d\

функции

+со1& = 0.

где соо = [/kim - круговая (цик-лическая) частота.

Для вынужденных колебаний линейно* системы имеем

(8.94)

Решение неоднородного уравнения (8.94) для случая F (t) = = / cos (y + Ь) ищется в виде

а cos (coo-f а)--f

m(al-y )

cos(v;-fP), (8.95)