Разделы


Рекомендуем
Автоматическая электрика  Расчет вибропрочности конструкции 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [ 72 ] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154

О,Is = ф (М. /),

где ф (УИ, t) - известная функция точки поверхности S и времени t.

2) Граничное условие второго рода состоит в задании плотности теплового времени

потока как функции

откуда dff

=Ф(М. О,

(8.53)

где ij3 (М, () - известная функция, выражающаяся через заданный тепловой поток по формуле

iJ)(M, О = -

Р {М, t)

3) Граничное условие третьего рода характеризует закон конвективного теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. По закону Ньютона количество тепла, передаваемое с единицы поверхности тела, равно Р = а - &с), где а - коэффициент теплообмена конвекции; fl-u, - температура поверхности; - температура среды. По закону сохранения энергии это тепло должно быть равно теплу, которое передается через единицу площади поверхности за счет теплопроводности, т. е. а (fl-iu - Or) = = -Х (йО/ап), где п - внешняя нормаль к поверхности S или, положив h = а/Х, получим

д&

+mw-&c)s = 0. (8.54)

4) Граничное условие четвертого рода соответствует теплообмену соприкасающихся твердых тел. когда температура соприкасающихся поверхностей одинакова, т. е.

#i (О = ©2 (О-

Помимо равенства температур, имеет место равенство тепловых потоков

(8.55)

Таким образом, краевая задача для температурного поля в твердом., теле ставится так:

Найти функцию & (х, у, г, 0 удовлетворяющую в области G = = (Ж D, ; > 0) уравнению теплопроводности (8.51) и дополнительным: а) начальному & (М, 0) = = ф (М) и б) одному из краевых условий (8.52), (8.53), (8.50) или (8.55).

К такой краевой задаче для уравнения теплопроводности приходим, если рассматривать интегральные микросхемы в виде п-мерного неоднородного параллелепипеда (п = = 1, 2, 3) или в виде многослойной пластины.

Аналитическое исследование теплового режима в этом случае заключается в интегрировании параболического (или, в стационарном случае, эллиптического) уравнения с привлечением необходимых начальных и граничных условий.

Для решения поставленной краевой задачи можно применить метод разделения переменных, операционный метод, метод конечных интегральных преобразований и численные методы.

Метод разделения переменных в приложении к тепловым расчетам микросхем

Ряд практических задач теплового режима элементов РЭА в теп-лофизическом отношении сводится к исследованию температурного поля в однородных прямоугольных пластинках (термоэлектрические, устройства, микросхемы и т. д.).

В частном случае для двумерной тепловой модели такая задача формулируется следующим образом.

Найти решение уравнения теплопроводности

0<х<Ь, 0<y<d,

ный момент времени некоторой функции ©о = / (а:, у, г, 0).

Граничные условия могут быть заданы различными способами.

1) Граничное условие 1-го рода состоит в задании распределения температуры в каждой точке поверхности S

(8.52)



8.6. Математические основы характерных тепловых расчетов при граничных условиях е (О, у) = (Ь, у) = 0; е (а:, 0) = & (X, rf) = О (8.57)

и при начальном условии е (X, у, 0) = ф {X, у). (8.58)

Согласно методу Фурье, ищем частные решения уравнения (8.56) в виде произведения

& v(M)T(0 = Х{х) Y U/)T (t).

(8.59)

Подставляя предполагаемую форму решения (8.59) в (8.56) и разделяя переменные, приходим к следующим уравнениям для функций v(M) и Т (t):

(8 60)

Ди -Ь Ь = 0; г + аХТ = 0.

(8 61) (8 62)

тлх ппу

Общее решение исходной задачи может быть представлено в виде

fKx, у, t)=.

= 2 т.пехр[-ая(- + , \ 7 . тпх ппу

Удовлетворяя начальному условию (8.58), получаем

i/)= 2 nsi

sin-- X

X sin

Для фупкиии fi (М) получаем задачу на собственные значения (задачу Штурма-Лиувилля): найти собственные значения Xi и соответствующие им нетривиальные решения - собственные функции задачи (8.60), (8 61)

Для определения функций d(M) = = X {x)Y (у) и Т {/) получим следующие уравнения:

X (X) + riX [х] = О,

У (у) + iJ (у) = о,

г (О + (т)+ 1г2)Г(/)) =0,

где I? = rf \)?.

Общие решения этих уравнений имеют вид:

X (X) = Ci cos щ + Сг sin

Y (у) = Сз cos \х.у + sin Pi/;

Г (О = И ехр l-a (т) + р)/].

Для выполнения граничных условий (8.57) следует положить

Ci = О, Сз = 0; т) = mnlb; р =nnld

(т, п = 1, 2, 3, ...).

Частными решениями уравнения (8 56), удовлетворяющими граничным условиям, будут

(8.64)

Ряд (8.64) представляет собой разложение функции ф (л:, у) в двойной ряд Фурье и коэффициенты Атп определяются по формуле

Ф (X, у) sin -- X

. ппу X sin - dxdy.

Внося эти значения коэффициентов в ряд (8.63), получим решение исходной задачи (8.56) ... ... (8.58).

Операционные методы для расчета нестационарных тепловых режимов РЭА

Для многих задач теплового режима РЭА и функциональных узлов использование классических методов оказывается неэффективным, например, применение метода разделения переменных для задач с внутренними источниками тепла. В результате требований специальной (бортовой) РЭА при



решении задач нестационарных тепловых режимов широкое применение нашли операционные методы.

Процесс применения интегрального преобразования Лапласа к решению дифференциального уравнения теплопроводности однотипен для различных форм радиоэлементов и микросхем при граничных условиях, первого, второго и третьего родов, без введения каких-либо новых допущений или преобразований.

Рассмотрим методику применения операционного метода Лапласа для нестационарного режима

Пусть тепловой режим РЭА (интегральной микросхемы, например) описывается уравнением теплопроводности вида

+ f{x,y, г, t)

(8.65)

в области G = {D с границей S, 0</<Г}.

На границе области заданы условия

(8.66)

При / = О задана функция

Ь (х, y,z,1) = ©о (- :. У, г). (8.67)

Следуя операционному методу Лапласа, умножим исходное уравнение на ехр (-рО и проинтегрируем по / от О до оо. Предполагается также, что интегралы существуют и операция

ехр (~pt)SI Mt--

= V2j ехр( -

правомерна, где д

V2 =

дх ду дг - оператор Лапласа.

Тогда вместо задачи (8.65) ... (8.67) будем иметь

рё-ео = а2--Л (8.68)

д% дп

(8.69)

где О, / и ф - изображения фуик--ций О, ; и ф соответственно, вычисленные по формуле (8.37).

Таким образом, получено дифференциальное уравнение относительно пространственных координат, решить которое значительно легче, чем (8.65).

После определения Ь из уравнений (8.68), (8.69) задача сведется к обратному преобразованию Для простых случаев обратного преобразования используются весьма подробные таблицы изображении [17]. В более общем случае решение получается из теоремы обращения с-1-ioo

b{x.y,z,t) = -~ J ехр (р/) X

с-loo

Хд(х, y,z,p)dp.

(8.70)

где с > а (а - некоторое число, такое, что Re р > о). Интегрирование ведется по прямой Re р = о в пределах от с - ioo до с + ioo, причем корни подынтегрального выражения (pj, Oj) лежат левее оси сходимости Re р = о. Вычисление интеграла (8.70) обычно производится методами контурных интегралов или с применением теоремы вычетов [30].

Порядок операций при использовании операционного метода следующий:

1) исходное уравнение (для оригинала) заменяется преобразованным уравнением, записанным для изображения;

2) граничные условия для оригинала заменяются граничными условиями для изображения. Начальные условия войдут в основное уравнение для области .изображения;

3) находится решение О для преобразованной задачи, при этом может

[ оказаться целесообразным повтор- ное применение интегрального преобразования;




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 [ 72 ] 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154

Яндекс.Метрика
© 2010 KinteRun.ru автоматическая электрика
Копирование материалов разрешено при наличии активной ссылки.