а) однородным граничным условиям, если по переменной х заданы граничные условия вида (8.40), (8.41):

Via -V2a Кр =0;.

Yib-

x = b

=0;.

б) условиям периодичности, если по переменной х заданы эти условия.

Таким образом, уравнение задачи LxV Lи = f при помощи интегрального преобразования с ядром

К(Х, р):

-р(х) Кр(д;),

Cp=]p(x)[Kj,(x)fdx а т

- нормирующий множитель, может быть приведено к виду U - и = f+ Na~Nb,

где и к f - интегральные преобразования функций и к f по переменной х; Хр - собственные числа с порядковым номером р граничной задачи (8.39)... (8.41).

Величины Na и Ыь определяются из граничных условий основной задачи [191.

Решение U исходной задачи выражается через решение преобразованной задачи с помощью ряда

у, г, 0= U(y,z,i,p}Kpix).

Аналогичные преобразования проводятся и по остальным пространственным переменным до получения обыкновенного дифференциального уравнения, решение которого находится обычным образом [19].

Операционный метод

При исследовании нестационарных тепловых режимов РЭА для малых отрезков времени особенно широко пользуются преобразованием Лапласа, составляющим основу Операционного исчисления

Пусть искомая функция U (х, у, 2. О непрерывна всюду, кроме, быть

может, конечного числа точек разрыва 1-го рода и, кроме того, существуют постоянные М > О и о > О такие, что \ U (х, у, г, t) \ < М X Хехр {of) для всех t, тогда существует интеграл

L{U{x, у. г, 0} =и(х.у,г. р) =

j и (X. у, г. f) е-Р dt

(8.42)

для всех р с действительной частью Re р > а, представляющий собой аналитическую функцию комплексного переменного р в полуплоскости Re р > о.

Определенная по формуле (8.42) функция и (х, у, г, р) называется преобразованием Лапласа, изображением функции и (х, у, г, f), а сама и (х, у, г, О - функцией-оригиналом.

Оригинал и (ху, г, t) находится из изображения U (х, у, г, р) по теореме обращения

и {X, у, г, I) =

c-f ioo

= j J(x,y, г, р) exp{pf)dp,

(8.43)

где с > о. Интегрирование ведется по прямой Re р = с в пределах от с - i оо до с -- 1 оо, причем корни подынтегрального выражения (pj. Of) лежат левее оси сходимости Re р = о. Вычисление интеграла (8.43) обычно производится методами контурных интегралов или сводится к более простым операциям с применением теоремы вычетов [17].

В качестве переменной преобразования может быть принято не только время t, но и любая из пространственных координат.

Применение операционного метода возможно лишь для линейных задач с линейными граничными условиями.

Метод функции Грина

Этот метод решения граничных задач существенно отличается от метода разделения переменных и метода интегральных преобразований и позволяет существенно упростить решение задачи. Метод функции

(8.44) U\s<t>. Gs=0.

(8.45)

и Ш, 0) = Ф (M), M = M (x, y, z)

(8.46)

Функция Грина- задачи (8.44)... (8.46) есть решение специальной однородной задачи

/ дО \

Vi + VaG =0, V дп js

Git 0-6 (М, Р),

непрерывное всюду в области В = = {MD, t>Q}, кроме точки (Р, 0). Здесь б (М, Р) - функция с особенностью в точке Р, G ~ =G(M, Р, -функция Грина исходной задачи (8.44)... (8.46), решение которой выражается через функцию Грина в квадратурах

i/(M, /)=JG(.M,P, t)(P)dlp,

Функция Грина может быть найдена методом разделения переменных.

Функция Грина для уравнений эллиптического типа (электромагнитные явления в РЭА). Рассмотрим граничную задачу

L [U] = - f (М) в области D; (8.47)

/ ди \

Г1-+Г2]=Ф(Л)- (8.48)

Решение исходной задачи (8.47) и (8.48) имеет вид

С дС

и {Р} = -\ц,(М) - dS-

- G(M,P)f(M)dV. MeVS,

причем берется по направлению внешней нормали к S.

Метод конечных разностей

Универсальным методом приближенного решения дифференциальных уравнений для конструкторских задач является метод конечных разностей (или метод сеток). В этом случае область непрерывного изменения аргументов {х, у, г, f) заменяется конечным (дискретным) множеством точек (узлов), называемым сеткой. Производные, входящие в дифференциальное уравнение, заменяются (аппроксимируются) сеточными функциями в нескольких узлах сетки; дифференциальное уравнение при этом заменяется системой алгебраических уравнений (разностным уравнением) Начальные и краевые условия тоже заменяются разностными начальными и краевыми условиями для сеточной функции.

Например, пусть требуется решить уравнение теплопроводности

ди dt

Метод функций Грина решения таких задач состоит в следующем. Решаем задачу (8.47), (8.48) при специальных значениях / (М) и Ф (Ж) в виде

I дО \

L[0]=-б (М, Р); [у - + VG j=0-

Это решение есть функция Грина задачи (8.47), . (8.48). Определив функцию Грина и применяя известные интегральные формулы Грина, находим решение исходной задачи. Например, для первой краевой задачи (Vs s 1, yi s 0)

Грина состоит в том, что сначала находят некоторое специальное решение (функцию Грина) задачи того же типа и через него в квадратурах выражают решения исходной зада-задачи.

Функция Грина для уравнения параболического типа (задачи теплового режима РЭА) Пусть требуется найти решение однородной краевой задачи в области В = (МВ D,

=0.1.....Л/; /=0; 1; ...Wo}

с шагами h - 1/N, т = T/Nf,. Произведем замену (аппроксимацию)

ди dt

}. t

Подставляя полученные разностные отношения вместо соответствующих производных в дифференциальное уравнение и заменяя значения функции и (х, t) ее значениями в узлах сетки U (jtj, tj) = = i/(ih, /т) (Jij, запишем разностное уравнение, аппроксимирующее заданное дифференциальное

= -1-

и являющееся одним из простейших сеточных уравнений.

8.6, МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХАРАКТЕРНЫХ ТЕПЛОВЫХ РАСЧЕТОВ

Задачи теплового режима РЭА, приводящиеся к уравнениям параболического и эллиптического типов. Постановка краевых задач

В цикл проектирования интегральных микросхем (ИС) в качестве основного этапа входит разработка топологии. При разработке топологической структуры ИС неизбежно встает вопрос о температурном поле кристалла или подложки в случае гибридных интегральных схем.

В теплофизическом отношении ИС представляет анизотропное неоднородное тело, нестационарное температурное поле которого описы-

вается уравнением теплопроводности (параболического типа), а стационарное температурное поле - уравнениями Лапласа и Пуассона (уравнениями эллиптического типа).

Теплообмен теплопроводностью (кондукцией) происходит согласно закону Фурье:

Р = -Х grad € = -KV( = dff

-Хи

(8.49)

где X - коэффициент теплопроводности; & - температура

С учегом закона сохранения энергии из (8.49) можно получить уравнение теплопроводности для неоднородного изотропного тела в виде [33]:

= -г-1Х]+-

д I.

и-р.

(8.50)

где & = & (М, t) - температура в точке М (х, у, г) тела в момент времени t\ с - удельная теплоемкость тела; р -плотность; Р (M,t)~ удельная мощность источников энергии, Х~Х(М, t)-коэффициент теплопроводности тела.

Если тело однородно, то с, р и Л, - постоянные и уравнение (8.50) принимает вид

dt [

dt \ dx + (8.51)

где = К/ср.

Дифференциальное уравнение теплопроводности имеет в общем случае бесконечное множество решений. Для однозначного решения поставленной задачи необходимо, как это следует из физических соображений, знать еще распределение температуры в начальный момент времени (начальные условия) и тепловой режим на границе S тела (граничные или краевые условия).

Поскольку дифференциальное уравнение теплопроводности - уравнение первого порядка по переменной достаточно задания в началь-

где и = и (х., () - функция двух аргументов х и t, меняющихся в области D = (О < л; < 1, О < < Г). Введем сетку