Законы энерго-массопереноса

Перепишем (8.2) в виде / = аХ, где о 1/г.

Так как X - обобщенная сила соответствующей физической природы, которая в общем случае имеет векторный характер и поэтому grad X = Уф. Линейный оператор V через орты (единичные векторы) соответствующих координат записывается в виде

д д д ,

градиент скалярной функции (потенциала)

бф йф бф ,

grad ф--ji- 1-1--f- j+-tk. дх ду дг

Отсюда находим обобщенную форму законов переноса:

/ =- оУф = - о grad ф, (8.8)

п частных случаях она записывается следующим образом:

Gin = -Xgrad в (закон Фурье), (8.9)

.де Ф - удельный поток тепловой энергии, К - коэффициент теплопроводности, О - температура,

1 =-о<. grad и (закон Ома), (8.10)

где ( - поток электронов (электрический ток), Og - электропроводность проводника, и - электрический потенциал,

Ф - ogradG (формула Гоп-

кинсона), (8.11)

где ф - магнитный поток, о- магнитная проводимость; 6 - магнитодвижущая сила,

m = - DgradC (второй закон

Фика), (8.12)

где т - м<--сса вещества; D - проницаемость стенки сосуда; С - концентрация раствора.

Физический смысл законов (8.9)...(8.12) и им подобных одинаков: величина потока энергии или массы вещества прямо пропорциональна градиенту потенциала соответствующей обобщенной силы и

* Составитель § 8.4.,.8,9 А. С, Си-ниченков.

обобщенной проводимости соответствующей физической природы (которая зависит от материала). Однако их непосредственное использование для конструкторских расчетов в ряде случаев невозможно, так как требует соблюдения и знания начальных и граничных условий и применения конкретных математических приемов [4...9,35].

8.4. МЕТОДИКА ОБОБЩЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОТОКОВ ЭНЕРГИИ в РЭА*

Метод обобщенного исследования позволяет отказаться от концепции черного ящика и вместо формальной математической аналогии теории четырехполюсника [35] использовать физическую аналогию систем с потоками различных видов энергии. При этом возможно получение в общем виде решения обобщенной модели РЭА, представленной уравнениями в обобщенных координатах при любых заданных граничных условиях, а исследования процессов передачи и преобразования потоков энергии по законам механики, термодинамики и электродинамики не только не заменяют друг друга, но наоборот, становятся единой теоретико-методологической базой широкого класса практических задач.

Сопряженные с обобщенными координатами обобщенные силы измеряются количеством энергии в обобщенном силовом поле. Использование представлений об обобщенном силовом поле позволяет одним методом решать задачи теплового режима, вибрации и электромагнитных полей в РЭА. В качестве такого метода можно использовать вариационный принцип Остроградского - Гамильтона (принцип наименьшего действия).

Механические поля

Любая конструкция РЭА при расчетах вибраций может быть определена заданием обобщенных коор-

дииат 9i, .... Qn (п - число степеней свободы) и производными от них Qf - обобщенными скоростями. Задача заключается в отыскании уравнений движения, которые позволяют определить собственные частоты и амплитуды колебаний рассматриваемой конструкции.

Общая формулировка законов движения механических систем дается принципом наименьщего действия Гамильтона, по которому траектория движения механической системы в пространстве обобщенных координат Qi характеризуется функцией Лагранжа L, а интеграл

S=-{ Цд,д, t)dt

называется действием (по Гамильтону) за промежуток времени 2 - 1 и принимает наименьшее возможное значение.

Из условия минимума вариации действия S

6S=6

L{q, q, t)df=0

получаем дифференциальные нения Лагранжа вида [21]

(8.13)

урав-

=0. dqi

(8.14)

dt dqi

Функция Лагранжа для замкнутой системы: L = Т - U, гяе Т к и - кинетическая и потенциальная энергия системы соответственно.

Например, для свободных одномерных колебаний имеем

2 2 dl

i Функция Лагранжа системы, со-; вершающей одномерные малые колебания, L = тхУ2 + кх2, где k - Жесткость системы; т - масса системы.

S Уравнение Лагранжа, соответствующее этой функции, тх+ kx= = О, или X + Шо л; = О, где Шо = *= \/k/m - собственная частота.

Решение уравнения (амплитуда) Может быть записано в виде

..ж = I = а cos (Шо/ + а).

Таким образом, если функция Лагранжа механической системы известна, то уравнение (8.14) представляет собой уравнение движения системы, позволяющее вычислить характеризующие конструкцию параметры.

Электромагнитные поля

Вариационная задача в формулировке (8.13) приводит к уравнениям электродинамики Максвелла, широко используемым при расчетах электромагнитных явлений в РЭА.

Рассмотрим РЭА как некоторый объем V, содержащий электрические поля, токи и заряды, характеризуемые векторным потенциалом А, вектором количества электричества м и скалярным потенциалом ф, которые на границе S этого объема принимают заданные значения. Тогда для истинного поля, токов и зарядов, которые будут в объеме 1/ при заданных сторонних электродвижущих силах Ест и условиях на границе S этого объема, имеем

б[ (L + A) dt=0.

(8.15)

где вариации 6А, 6ф и 6х являются

произвольными и независимыми внутри V, а также на границе S объема V. При этом виртуальная работа определяется выражением

6А =

(£cT--i)6xdl/, (8.

а функция Лагранжа равна

I \ дК Y

(т 1Г+Н -

--(rot А)2

8?хл

(8.17)

где j-плотность тока; о-проводимость среды; £ст - сторонняя э. д. с; V - оператор Гамильтона.

Можно показать [25], что при подстановке в (8.15) функции .Лагранжа (8.17) и выражения работы сто-

rot - rot А = Р

1 5А

с dt

dive

с dt

4-Уф J

/ I ал \

dt аА

4яр;

Если учесть известные соотношения

В = rot А, Е=--и

и условие Лорентца ер, д(р

I йА

gradф

div A-l-

то придем к стандартному выражению системы уравнений Максвелла в среде

1 ар

с dt

(8.18)

1 9в

rot Е =

с dt

divB=0;

div D = 4 пр.

(8.19)

(8.20) - (8.21)

где D - вектор электрической индукции; Е - вектор электрической напряженности; Н - вектор магнитной напряженности; В - вектор магнитной индукции; е - диэлектрическая проницаемость; р - магнитная проницаемость; р - плотность зарядов.

В системе уравнений (8.18)... ...(8.21) учтены соотношения, обусловленные средой, в которой протекают электромагнитные процессы, а именно;

d = 8E, в = рН, j=o(E + Ect).

Тепловые поля

Основное уравнение теплопроводности также может быть получено из общего принципа наименьшего действия Гамильтона [24]. При тенлофизических процессах часть энер-

гии необратимо переходит в теплоту, рассеивается (диссипируется). В этом случае необходимо вве.сти функцию потерь или диссипативную функцию Рэлея в виде квадратичной формы:

В частном случае необрати р потери в виде обобщенных сил грения равны

dR dqi

С учетом диссипати&ных процессов уравнение Лагранжа имеет вид

± , (8.22)

М dqt SQi dqi

Для случая, когда система не обладает кинетической энергией, имеем

i+=0. (8.23)

dQi dqt

Если на систему воздействуют-внешние силы fj, уравнения (8.22), (8.23) приобретают вид

d dL dL dR

dt dU

dR

dqi dqt

Используя термодинамику необратимых процессов, можно дать четкое толкование тепловых полей на основе вариационных принципов обобщенного силового поля.

Введем вектор теплового потока Р как функцию обобщенных координат

Р Р (<?1. <?2. <?п,0-

Обозначая через в избыточную по отношению к равновесной температуру из закона сохранения энергии, получим

ф# = - div Р,

где сир - удельные теплоемкость и плотность. Следуя Био [24], введем термодинамические аналоги по

роииих сил (8.16) получим уравнения электродинамики в виде

1 . . 4зх 8 ~