Частные решения уравнений в виде формул (рис. 8.1, в) пригодны для решения узкого класса задач, например, вычисления Кдин при Кдм и К = var или только Кдм ~ = var, а К = const и т. п. в определенной системе единиц. Таблица рис. 8.1, г дает наиболее точные значения как для относительных, так и для абсолютных значений параметров, но весьма громоздка.

В общем случае уравнение представляет собой формальную запись взаимосвязи множества пар значений аргумента и функции, для выделения из которых конкретных областей значений требуется наложение дополнительных условий. Рассмотрим область существования некоторой функции у = f (х) (рис. 8.1, д). В любой точке множества {А}, ограниченного рамками рисунка, существует искомая функция, которую можно представить в виде точки с отрезком прямой-производной у - f (х). Если на этом множестве выделить область <В> и частичное значение у = f (х) в виде интегральной крив.ой (сплошная линия), проходящей через данную точку Хх, Ух, то для ее задания необходимо иметь систему координат XOY, в которой можно задать начальное значение у = f {к) ъ виде (О, Уо)-Это и дает возможность перейти от уравнения общего характера к инженерной формуле, позволяющей дать численное описание. .

Если предположить, что подмножество (область) (В> имеет физические свойства, отличные от свойств множества (окружающей среды) {Л}, то возможны три характерных режима (граничных условий) в месте перехода от <В> к {Л} (рис. 8.1, е). Выделим на множестве {А} шесть подмножеств <В>, <С>, <D>, <£>, <F> и <Я> и рассмотрим характер задания у = f (х) на границах раздела подмножества и множества. Для подмножеств СВ>, <С> и <£)> будем иметь на границе раздела у = у2, но разные значения производных (разные ф). Это граничная задача 1 рода, требующая соответствия значения функции условию Дирихле -(однозначность, кодечность, кусочная непрерыв-

стемы координат (параболические, эллиптические, бицилиндрические, софокусные и т. п.). Если по ходу решения задачи приходится иметь дело с большим, чем три, числом групп независимых параметров, то прибегают к формальным представлениям о многомерном пространстве.

Оптимальный выбор графических или знаковых моделей и их пространства отображения позволяет дать наиболее компактное и наглядное представление о конструкции.

Общие правила построения и использования графических и знаковых моделей.

На рис. 8.1, а построены графики функции = / (v) для трех динамических систем (/, 2, Ч). Из рисунка следует, что частоты собственных колебаний систем v равны соответственно 20, 100 и 200 Гц, ви.тен также характер изменения функции и то, что значение коэффициента Кдмг = const = 0,05. Если ввести относитрльныг (безразмерные) параметры демпфирования Кди - = Шо и = v/vo (рис. 8.1, б), то информативность и наглядность графика возрастут. Три кривые рис. 8.1, а сольются в одну, так как каждая кривая теперь отражает целое семейство кривых в относительных единицах. Из этого графика видно, что максимальные значения функции при Кдм > 0,05 лежат в дорезонанс-ной области, что при Кдм О I ->оо, а при К= 1,41 1= / (т. е. только для К, > 1,41 возможно уменьшение колебаний амортизируемого блока), что чем больше функция I при К, = !, тем она меньше при К > 1,41. Однако для получения численных значений функции I и аргумента v надо знать их начальные значения (например при

К = 1)

Наивысшей общностью формы Записи поведения динамической системы, возбуждаемой силой 0 sin ш?, обладает уравнение fnt + PI -f = Fo sin Ш/, в котором m - масса, P - параметр, пропорциональный коэффициенту демпфирования Кдм, к - жесткость. Это уравнение справедливо для любой системы единиц.

8. Физико-математические основы конструирования РЭА (х)]. При одинако- тической модели явления, т. е. пере-

ность, и {х)

вых производных (одинаковых углах наклона ф), но разных значениях У (Уг< Уе, yi) условия на границе раздела подмножеств <б>, <f> и <Я> должны соответствовать граничной задаче Неймана - условиям П рода (duldn = ф (л:)). Для подмножеств <£>>, <£> и <Я> будем иметь граничную задачу П1 рода (смешанные граничные условия), в которых определяющим параметром является обобщенная проводимость, имеющая геометрический смысл отношения (ха - Xj)/yi.

Таким образом, рассматривая исходную физическую модель конструкции РЭА и ее графические или знаковые отображения, следует помнить о сущности этих моделей, их возможностях и целесообразных областях использования.

носу полученной информации на другие подобные системы.

Так как конструкция РЭА изучается в условиях неполной исходной информации, то для конструктора очень важно знание основных положений теории подобия и моделирова- ния. Эти методы позволяют проводить анализ конструкций по ограниченному числу параметров, заменять ее упрощенной физической или математической моделью, сокращать число анализируемых параметров без потери полноты описания.

Основными наиболее доступными методами ТПМ являются: анализ размерностей, я-теорема, метод подобия, физическое моделирование. Более подробно с методами моделирования можно познакомиться в 7. 8, И, 27].

8.2. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЯ

Конструкции современной РЭА - сложные системы, состоящие из взаимосвязанных элементов. Поэтому приложение к их анализу и синтезу классических математических методов наталкивается на ряд ограничений методического и принципиального характера, в основе которых лежат: отсутствие общей теории конструирования РЭА, обилие разнообразных физических эффектов, используемых в РЭА и требующих специфических подходов, большое число параметров, с помощью которых необходимо описывать конструкцию

Методы теории подобия и моделирования ТПМ (как и методы планирования эксперимента или многофакторного анализа) по существу решают одну и ту же задачу: обобщение результатов ограниченного числа опытов с получением на их основе достоверной (в пределах разумных требований) математической модели системы.

Изучение системы начинается с качественных исследований, позволяющих ответить на вопрос: лучше или хуже, больше или меньше. Затем, обобщая разрозненные данные опыта, переходят к нахождению закономерностей и созданию матема-

Анализ размерностей

В практике анализа и синтеза конструкций приходится иметь дело с параметрами, характеризуемыми числом (отношением количества данного свойства к базовой величине) и физической характеристикой ил и размерностью (отображающей конкретное качество). Поэтому запись результата измерения, например, диаметра валика 0б мм рассматривается как отношение диаметра к базисному значению, имеющему физический смысл длины в 1 мм. Для измерения можно воспользоваться, например, калибром на 6 мм. Тогда результат измерения - отношение 6 мм/6 мм 1 называют безразмерным. Следует помнить, что безразмерные величины - отношение комбинаций одинаковых по размерностям исходных величин или их комплексов.

В общем виде результат измерения можно представить как совмещение пространства размерностей с данной системой (явлением, конструкцией). Если свойства конструкции совпадают с соответствующими осями координат (размерностями), то получим безразмерное описание, если нет - придется ввести дополнительные производные величины. Поэтому вопрос о числе и характере основных единиц решается обычно на основе целесообразности или удобства пользе-

вания соответствующей системой единиц, включающей основные и производные величины.

При этом следует помнить, что перевод группы величин из одной системы в другую всегда связан с введением различных коэффициентов пропорциональности, которые могут быть как размерными с определенным численным значением, так и безразмерными, численное значение которых может быть равно единице, что часто является причиной ощибок при переходе от одной системы единиц к другой.

В международной системе единиц (СИ), используемой в Справочнике, основными единицами являются: масса (обозначение размерности [М]),

термодинами-0], сила элек-

длина [L], время [Т

ческая температура

трического тока [/] и сила света [J]. Их наименования: метр, килограмм, секунда, кельвин, ампер и кандела.

Зная размерность основных и производных величин, входящих в то или иное равенство или формулу, можно проверить их правильность, определив размерности правой и левой частей (принцип однородности по размерностям Фурье). Проверим, например, правильность равенства:

S vt + 0,5 ар; [s] = L; [v] =

= LT-; []= Т; \а] = LT-.

После подстановки имеем

[s] = L; [vti = LT- Т Ц [afi] =

ЬТ--р- = L.

Размерности одинаковы, равенство справедливо (размерность числового коэффициента равна 1).

Пользуясь анализом размерностей, можно определить вид функциональной связи параметров. Исследуем, например, зависимость собственной частоты Vq колебаний элемента кон-струкции, выведенного из состояния равновесия, отпущенного из этой точки без начальной скорости и эквивалентного математическому маятнику. Из опыта известно, что частота Vo зависит от длины / элемента, его меры инерции т и веса G, т. е.

Vo=/(/, т, G) и Ы=[/ тРО]-

Тогда Г-1 = Z, mP (ШГ-2) и показатель степени у G-2 \ = - ,

у/-a + Y= 0 и у т - Р + + V = 0. Отсюда V = 1/2, а = Р = - 1/2 и искомая зависимость будет иметь вид:

VoCVG/w. а так как О-mg, то

Vo = Cyg ,

т. е. получена искомая зависимость с точностью до функции С, которая при малых углах отклонения равна примерно 1/2я.

Последовательность решения подобных задач следующая: записывают функциональную зависимость, составляют уравнение размерностей, решают систему уравнений для показателей степени и составляют требуемую зависимость, вводя в нее константу или функцию С.

Анализ размерностей, оперируя понятиями высокого уровня абстрактности, позволяет синтезировать фор-мулы размерностей физических величин на базе строгих математических доказательств.

П-теорема

Эта теорема лежит в основе анализа размерностей. Суть ее в следующем.

Если имеется функциональная зависимость (исходная информация) л размерных параметров

f (Qi, <?2. -. Qn) = О, то ей всегда соответствует эквивалентное соотношение т безразмерных параметров:

(3ll, Jt2, Пт) = О

и при этом всегда п > т. Обычно т + q = п, где q - число независимых размерностей.

Таким образом, я-теорема дает возможность описать конструкцию не только в пространстве первичных параметров, но и вторичных (в виде обобщенных характеристик безразмерного- вида).

Условия применения л-теоремы. В исходный список параметров должны быть включены все определяющие конструкцию величины, так как на промежуточных этапах анализа я-теорема не позволяет этого делать. При сост<1Влении физически корректного исходного списка следует исклю-