9.5. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА СИСТЕМ АВТОМАТИЗИРОВАННОГО УПРАВЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОПРИВОДАМИ

Наиболее общий подход к решению задач анализа и синтеза систем электроприводов дает статистическая (вероятностная) теория автоматического регулирования [9.21]. В соответствии с ней входные воздействия системы представляются как случайные величины, принимающие в каждом данном отсчете одно из множества возможных значений. Случайные процессы н величины обозначаются прописными буквами X (О в отлнчне от их реализаций X (Q. Так же, как рассматривавшиеся выше детерминированные процессы, которые полностью определяются как функции времени, случайные процессы могут квантоваться по уровню н дисхретнзнроваться во времени. Дискретизнрованнын случайный процесс называется случайной последовательностью. Он может быть образовав нз случайной непрерывной функции X (/) (как н для детерминированных функций) заменой аргумента / на пТд и обозначается X* (О-

Наиболее полными характернстнкамн случайной величины являются ее законы распределения. Для квантованной по уровню величины Хд, принимающей значения Xgi, одномерным (в статике) законом распределения является функция p{Xgi), выражающая вероятность каждого данного значения Xgi и называемая функцией распределения нлн просто распределением, причем

f = -го

Для неквантованной величины X кумулятивной функцией распределения нлн интегральным распределением называется функция Р {х), выражающая вероятность того, что рассматриваемая величина примет значение X X. Производная от нее функция

p(x)=dP{x)/dx (9.51)

есть плотность вероятности нлн дифференциальное распределение, причем Р (+< ) = 1 и

5 p{x)dx = l. (9.52)

Выражение (9.52) соответствует выражению (9.50) прн Q -> 0.

В качестве менее подробных описаний случайных величин часто пользуются момен-та.мн распределений [9.22]

;p*=M[;f*]= xip(x)dx

для некваитоваииых величин и (=-со

для квантованных величин.

Моменты первого порядка

- = А = Л1[Х]= xp{x)dx

( = -GO

называются математическим ожиданием и определяют среднее значение, вокруг которого группируются возможные реализации случайной величины. Случайная величина является центрированной н обозначается JC, если ее математическое ожидание равно нулю. Моменты К-то порядка центрированных величин называются центральными, а непентриро-ванных - начальными. Математическое ожидание отклонения случайной величины X от ее математического ожидания X (центральный момент первого порядка) всегда равно нулю. Второй центральный момент

D\X\ = M\b]= I {X-mYp(x)dX--= Л1[Х*1-(т)

f=-00

называется дисперсией случайной величины и характеризует меру рассеивания ее реализации относительно своего среднего значения. Среднеквадратнческое отклонение случайной величины обозначается o = o[X]=lD [X]. Плотность распределения вероятности

вида

р (X) = &i а)-1 ехр [-(Х- туЦ2а\)

определяет нормальное (гауссово) распределение случайной величины, известное как распределение уровней случайного шума, т. е. суммы большого числа независимых случайных величин. Для нормального распределения наибольшее абсолютное отклонение 8 j = 30;f с вероятностью 0,997.

Степень зависимости двух случайных величин X я Y характеризуется корреляционным моментом

K-M[iX~m){Y-my)l

Для независимых величин = 0.

Можно оперировать с квантованными и некваитованиыми распределениями совершеиг но одинаковым образом, если представить повторяющийся нмпульс (дельта-функцию Днрака)

тер, б {х)

- b(x-iq\ <.=-оо

компонентой квантованной плотности вероятности:

Р (Xgi) =гер, б W р (X) * rect (-)}. (9.53)

rect(iL)

1 при О при

обозначает единичный прямоугольный нмпульс.

Выражение (9.53) означает, что плотность р (х) сглаживаетсн в результате свертки с прямоугольником шириной q (шаг квантовании), а затем квантуется. Прн таком представлении, введи дополнительно понятие характеристической функции распределении

Р()= f p(x)exp(-iyx)dx, (9.54)

- 00

котораи ивлиется преобразованием Фурье длн плотиостн вероятности, можно сформулировать теорему квантовании: неквантованное распределение квантованного сигнала можно восстановить, если повторяющиеся копии его характеристической функции

Р (Уд) = гер2 /, {Р {у) sine yq) (9.55)

разнесены настолько, что их можно рассматривать и обрабатывать как отдельные, т. е. 2nlq больше протяженности спектра Р {у) по оси у и квантование производитси с достаточно малым шагом q.

Теорема квантования указывает ориентировочные границы соответствия цифровых и аналоговых величин и позволиет вычислить приблизительно наибольшие ошибки квантования на этих границах.

Так, путем повторного дифференцировании характеристической функции (9.54) можно показать, что моменты распределении опреде-лнютсн выражением

.?*-.(/)* р* (0),

и функцию можно представить в виде рнда Тейлора

00 со

Piy) J/*P*(0)/nl= {-iy) X/n\.

k=0 k = 0

(9.56)

Выделяй нервую из повторяющихся копни Р (уд) в (9.55) подобно тому, как при помощи фильтра нижних частот восстанавливают днскретизнрованный сигнал, н, раскладывай характеристическую функцию в степенной ряд, находит систему соотношений, связывающих моменты квантованного и не-квантованного сигналов:

: . х=}; xxi-qvi2: X =X-X<fiV4 и т. а.

в частности, из второго соотношения следует хорошо известное положение о том, что

при выполнении условий теоремы квантования и равномерном распределении значений ошибки квантовании в интервале (-q/2, q/2) среднеквадратичная ошибка квантовании ад=

= q/Ys. По теореме квантовании предпола-гаетсн статистическое восстановление сигнала, а не восстановление его отдельных реализаций.

Случайные функции, которыми приходится оперировать в цифровых системах управления электроприводами, могут быть функциями различных переменных, но чаще всего нх аргументом бывает времн. Обычно непрерывные случайные функции представ-лнютсн в виде элементарной случайной функции X (О = Хф (О, где X - случайная величина, ф (О - детерминированнан функция времени, илн в виде суммы элементарных случайных функций

Прн этом величина Xj может быть, например, квантованной по уровню Хд{, а функция ф (о - днскретнзнрованной во времени функцией (t). Случайная функция, у которой основные вероятностные характеристики не зависят от времени (хоти некоторые нз них могут зависеть от разности времен т = = а - i). называется стационарной. Длн исследовании снетем регулировании в рамках коррелиционной теории а качестве основных характеристик случайной функции обычно рассматривают ее математическое ожидание н корреляционную функцию.

Математическое ожидание случайной функции

m{t)=MlX(t)] (9.57)

- это детерминированнан функции, вблизи которой группируются конкретные реализации случайной функции X (/).

Многие стационарные случайные процессы обладают свойством эргодичности, т. е. длн них математическое ожидание совпадает со средним по времени, полученным в результате одной реализации.

Коррелиционнаи (автокоррелнционнан) функции

ЛГхСг h)=M{[X(t,)-m(t,)]x x[X(t,)-mX(t)]}=M[X(t,))c(t,)]

(9.58)

- это детерминированнан функции двух аргументов ti и t, характеризующан степень изменчивости случайной функции X (/) Из (9,58) при ti= ti - < находится значение дисперсии случайной функции

Dx(0 = AI[40] (?-59)

(также неслучайная функции) и значение среднеквадратичного отклонении ее

ах(0 = о[Л(0]-15, (9.60)

Характеристики дискретизироваииого случайного процесса получаются из выраже-

НИИ (9.57) - (9.60) посредством замены аргументов ti и ti на аргументы щТд и щТд соответственно. Например, выражение корреляционной функции стационарного процесса (<2 - <1 = т для непрерывных процессов и пТа - ПхТа - тТд для дискретных) имеет вид:

(т) = 1 im Т-1 f X (ti) X (ti+т) dti для непрерывных процессов и iv

= lim (2Л/+1)-1 У Я(П1То)Х

хХ[(П1+т)Го)

для декретных процессов.

Оптимизация систем управлеиия электроприводами по критерию минимума среднеквадратичного отклонения (9.60) широко распространена. В частности, если X (/) имеет размерность тока (или .напряжения), то (О в (9.59) имеет размерность мощности!

а интеграл от ( по времени есть мера энергии, рассеиваемой в сопротивления сигналом X (t).

В соответствии с теоремой Парсевали

Х (i)dt--

X*(p)dQ (9.61)

полная энергия сигнала равна сумме энергий каждой частотной составляющей его спектра. Важное значение имеет теорема Винера-Хинчииа о том, что временная автокорреляционная функция (т) и частотная функция (Q), пропорциональная среднему значению мощности спектральных составляющих стационарного процесса X (Q и называемая спектральной плотностью, связаны между собой преобразованиями Фурье:

S 5;f(Q)expyQT),

-00 00

Sx(Q)coeQxdQ; (9.62) (Q) - f (x) exp (- /От) dT=

- 00 CO

=2J ATjf(T)co8QT(fr.

Из (9.62) при т = О получается выражение для дисперсии X (i):

аналогичное (9.61). Приближеинаи оценка низкочастотной части суммарной среднеквадратичной ошибки в оптимизированной разомкнутой системе дискретизации и восстановления довольно распространенного сигнала, состоящего из большого числа прямоугольных импульсов со случайной амплитудой и случайной длительностью, записывается в виде [9.23]

0,425 / 2я-1 \/9о.\ад-1

(9.63)

где п - параметр среза спектра входаого сигнала, начиная от Ос, по закону 1/0* ; г - параметр среза характеристики входного фильтра, начиная с Оо/2, по закону 1/0* , причем обе характеристики До начала среза равномерны, и п+ г2. Зная параметры сигнала и фильтров и задаваясь допустимым значением < по (9.63) можио определить

частоту дискретизации Qq- Как следует из (9.63), величина при заданной частоте Од

уменьшается с ростом крутизны среза частотных характеристик сигнала и входного фильтра, что уже упоминалось выше без доказательства. Приведенный характерный пример не может быть распространен на случай нерегулярных спектров, в частности, содержащих периодаческне компоненты.

Дли важного класса стационарных нормальных случайных процессов имеет место весьма хорошее приближение характеристик сигнала ошибки кваитоваиии и физического белого шума [9.24].

Под термином белый шум> имеется н виду идеальный случайный шум, значении которого, разнесенные во времени, практически не коррелированы, т. е. для него К (т) = = б (<) и 5 (О) = 1 - спектральная плотность постоянна в бесконечно широкой полосе частот, а дасперсия ие имеет конечного значения. Под физическим белым шумом понимается такой процесс, у которого спектраль-иан плотность приблизительно постоянна в некоторой достаточно широкой полосе частот

(О) = С и (т) = С б (т). При такой аппроксимации корреляционная фуикции шума квантования может быть представлена в следующем виде:

iC,(x) = 4exp{-i[Ox-/C;c(x)]}.

где о и /Сх (х) - среявеквадратичное значение и корреляционная кция входаого сигнала, а дисперсия ошибки квантования, полутаииая иа осиованяк (9.55) и (9.56), равна о = 4/12. Спектральная плотность такого процесса близка к 4Ат/12, где Ах - интервал корреляция.

Для сигналов, представленных в аналоговой форме, безусловная энтропия имеет вид [9.211:

Я(Х)- J p{x)loap(x)dx. (9.64)

где р (дс) - плотность вероятности.