Теорема о конечном значении оригинала

/(оо)= lim /(n) = lim (г),

n- oo г- 1 2

если пределы существуют.

Теорема о связи преобразования Лапласа н z-преобразоваиня 1

F(p)TaJF (2. о) ехр (-роГр) do \рт

где оТр - временибе смещение моментов дискретизации (0: а< 1): <= лТо+ оГр.

Р{г,о)~- 2 ехр [(pr,+/2nv) а! X

V=-00

xFip+fimlU)

Формула обращения - нахождение оря-гннала по известному изображению (Обратное z-преобр азова ние):

Z-{F(z, а)}=/(п, о) =

где Л > шах I 2v I - раднус окружности интегрирования с центром в начале координат плоскости г; 2v (V = 1,2.....q) - особые

точки функции F (г, о).

В случае, когда изображение представляет собой рациональную дробь

boZ9 + biZ9-l + bil9- + ... + bg

<>- г,+а,г<г + а,г+... + ад

зиачеиия оригинала можно найти прямым делением числителя дроби иа ее знаменатель. При этом

f(n) = c . п=0, 1, 2, ... (9.38)

Здесь с - коэффициенты разложения F (г) в ряд Лорана:

00 = bo;

Са = Ьз-Osfii-fljCi - OsPo;

(9.39)

Вычисление значений оригинала / (n) для любого значения п по формулам (9.37) - (9.39) ие требует предварительного нахождения полюсов изображения, однако выражение / (п) при этом получается в неявном виде относительно п.

. Переход от z-преобразоваиня к w-npe-образованню позволяет использовать асимптотические свойства прн построении логарифмических амплитудных характеристик импульсных систем. Он может быть осуществлен путем подстановки г = (1 + оу)/(1 - w).

1 1*

Тогда нз (9.36) прямое w-преобразоваине функции / (п)

(>(4Г.

л = 0

Для w-преобразовання справедливы все основные свойства z-преобразования.

Аппарат z-преобразоваиня позволяет ввести понятие передаточиой функции цифровой системы, представлнющей собой отношение z-преобразоваиий выходной и входной величин системы прн нулевых начальных условиях. Передаточная функция W (г) линейной системы по рнс. 9.25, в с разомкнутой обратиой связью

где Y (г), X (г) - изображения выходной у (О и входной X (i) величин системы. Символом D (г) на этом рисунке обозначена передаточная функция цифрового корректирующего устройства. Передаточная функция приведенной аналоговой части системы

W{p) = il-e-P)W3(p)/p.

а ее приведенная весовая функция (реакция аналоговой части и а одни прямоугольный нмпульс единичной амплитуды с длительностью периода дискретности Г,)

ffin.. ) = L-4fl(P)}. При D (г) = 1

1Г(г) =

при D (2) 1

ZiWg{p)/p}; (9.40)

ll7(2) = D(2)Z{lF(p)} =

=D(2)Z{a; ., )}. (9.41)

Передаточная функция по входномиоз-действню замкнутой системы с единичной обратной связью (рис. 9.25, б) может быть определена с помощью формул (9.40) нлн (9.41)

Ф (2) = У (2)/G (2) = W (2)/11W (г)], (9.42>

где G (Z) -- изображение входного воздействия g{f); [I + W (г)] - характеристический полином замкнутой системы.

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке

Ф;, (2) =. X (2)/G (2) = 1/[1 (Z)]. (9.43)

Изображения входных сигналов и дискретные передаточные функции обычно являются дробно-рациональными функциями относительно г, причем выражении (9.42) н (9.43) могут использоваться для цифровых снетем лишь в случае, когда степень знаменателя передаточной функции аналоговой части Wa (р) больше степени числителя.

Значения выходной координаты у (О системы в моменты времени t= пТо определяются иа основе обратного z-преобразовання

г/(л) = г-Ч01г)Ф (2)}

ш известному изображению входной величины и передаточной фуиющи (9.42).

Необходимым и достаточным условием устойчивости дискретной замкнутой системы является расположение всех Корней ее характеристического полинома

в(2)-=aoгn-вгг*-+ . +am (9.44)

внутри окружности единичного радиуса с центром в начале координат плоскости г. При этом под устойчивостью системы понимается затухание с течением времени переходной составляющей ее реакции иа произвольный входной сигнал

lim j, (n)=0.

Аналогично непрерывным системам устойчивость дискретных систем может быть определена с помощью различных критериев устойчивости без определения корней характеристического уравнения замкнутой системы. Так, условия устойчивости аналитического критерия Шур-Коиа (аналог критерия Рауса-Гурвица для непрерывных систем) для m = 1 в выражении (9.44) имеют вид [9.18]:

ao-foi>0; Оо- 1>0.

адЛят= 2

во-Ьв1+02>0; Оо-ai-fesi>0; Оо-fla>0.

Для исследования систем выше третьего порядка обычно используют частотные характеристики разомкнутой системы и частотные критерии устойчивости (аналогичные критериям Михайлова, Найквиста и т. п. для непрерывных систем).

Частотная передаточная функция разомкнутой системы W (уй) получается в результате подстановки г = ехр (/07 ) в выражение передаточной функции (9.41). Она характеризует установившуюся реакцию системы на гармонический входаой сигнал с частотой Q. Амплитудно-фазовая, амплитудная, фазовая и ;фугне частотные характеристики при этом оказываются периодическими функциями частоты Q с периодом 2nlTt, поэтому их обычно исслегопот в интервале -п/Т Q я/Го или для функций вида (9.37) 0=0 я/Г,.

Исследование систем значительно упрощается с введением относительной псевдоча-сюты о и абозлютной псевдочастоты %, получающихся при выражении переменной Q-npe-образования через г = ехр (/саТ ):

г-1 exp(/Qr,)-l Т+Г ехр(/ОГо) + 1 =°

/1

, Та

Абсолютная псевдочастота имеет ту нее единицу (1/с), что и круговая частота Q, и при Q < 2/7 практически совпадает с ней, так как при этом tg QTo/2 < QTt/2; изменению fi 8 интервале О Q г£ л/Го соответствует изменение X в интервале ОК оо.

Частотная передаточная функция разомкнутой системы может быть иай£еиа непосредственной подстановкой

Га-Я) = Г(2)

1-ЬАГ,/2-

1-АГ,/2

(9.46)

Поскольку единичной окружности г == 1 плоскости 2 соответствует мнимая ось плоскости Q, внутренней области единичного круга соответствует левая полуплоскость, а внешней области единичного круга - правая полуплоскость плоскости Q, то при анализе дискретных систем с помощью ЛЧХ, получаемых нз (9.45), оказываются справедливыми все критерии устойчивости и оценки качества, разработанные для непрерывных систем.

Качество работы дискретных систем обычно оценивается приближенно по точности воспроизведения различных типовых .воздействий (единичного импульса, единичного скачка, линейного нли гармонического сигнала) в установившихся режимах и по запасу устойчивости замкнутой системы. Совместное рассмотрение этих оценок позволяет правильно сформулировать требования к параметрам системы.

Установившееся значение погрешности из (9.43) с учетом теоремы о конечном значении оригинала

ДСуст

г- 1

2 \ + W(Z)

а (г).

в [9.21 более подробно рассматривается влияние астатизма системы на порядок экстраполяции при ограничении значения иа-капливающейси погрешности на выходе экс-траполятора хтах- При изменении вкодного

сигнала по закону g (f) =

t> и порядке

астатизма системы г > k погрешность дсуст = = О, а прн г = k ошибка Xyci - const. Накапливающаяся внутри интервалов дискрет-иостн погрешность на выходе экстраполятора 1-го порядка будет отсутствовать, если

где m => 1+ г - порядок экстраполяюти системы.

Максимум погрешности экстраполяции имеет место в конце интервала 2;искретяостя при (п+ 1) Г.:

(т+1)1

где а +1 - наибольшее значение производной (т + 1)-го порядка от аходаой величины g{i). Отсюда допустимое значение периода дискретности при заааиио! значении Хв:

Тд-ХУШШШ, (9.46)

При гармоническом входном воздействии f ( = gmax sin at формула (9.46)

преобразуется к виду

ётах

Оценку запаса устойчивости дискретной системы можно производить, например, по характеру кривой переходного процесса прн входном воздействии в виде единичного скачка

0 при п < 0; прн п О

нли единичного импульса

1 прн п== 0;

f О ( ) = { 1

при пфО.

В соответствии с табл. 9.9 и формулой (9.37) переходная функция системы, представляющая собой ее реакцию ив единичный ска-, чок,

А(я)=2-ЧФ(г)2/(г-1)},

а функция веса, являющаяся реакцией системы на единичный импульс,

А,(й) = 2-ЧФ(2)}.

Запас устойчивости оценивается величиной перерегулирования

hmax{n)-h (со) А (со)

Отсюда для заданного допустимого зиачеиия перерегулирования можно определить параметры системы.

В тех случаях, когда цифровая система упраалеиия электроприводом описывается урааиеииями высокого порядка или ие может быть представлена в виде эквивалентной лн-иейиой импульсной системы, а чвстиости, при учете влияния квантования по уровню и других нелинейностей, ее анализ целесообразно производить методами пространства (переменных) состояния [9.18, 9.19]. Достоинством этих методов является то, что они обычно дают аналитически точное решение задачи а виде рекуррентного алгоритма, удобного для применения цифровых вычислительных машии.

Вектор состояния х (f) н вектор выхода у (i) системы определяются ее начальными координатами и входными переменными т (i):

x({)Plx(to): tn(to, 0]; y(t)W[x{fo): m(fo, t)]. (9.47)

Эти уравиеиия называются урааиеинями состоииия системы. Для линейной системы иля для отдельных этапов аппроксимации кусоч-ио-лииейиой системы эти уравнения могут быть приведены к виду

x(0=A(Ox(f)-fD(Oni(<); у(0 = В0к(0-ЬО(0га(/), где А (О - матрица коэффициентов; D (i)-

матрица управлеиия; В (/) - матрица выхода; G (О - матрица обхода системы.

Состояние линейной стацноиариой системы может быть описано следующей совокупностью линейных дифференциальных уравнений а аекторио-матричной форме:

dv(t) dt

=А (О,

(9.48)

где v(<)= j ~ вектор члолбец, представляющий со1к1Й одЕюаремеиио входные переменные щ и координаты xi, системы, т. е. вектор состояния системы увеличенной размерности; А - матрица коэффицнеитов системы увеличенной размерности.

Решение урааиеиия (9.45) имеет вид:

v(0 = O(0v(0+),

где V (О*) - начальные условия для вектора V (t);<t> (О - расширенная матрица перехода:

Ф(t)=e*L-{[sl-A]-}.

где I - единичная матрица.

Определение матрицы перехода может быть выполнено прн помощи схемы системы а переменных состояниях, составляемой тремя способами: прямым программированием; параллельным программированием; последовательным программированием.

Уравнение состояния для линейной стационарной дискретной системы нли для отдельных этапов аппроксимации кусочно-лн-иейиой системы имеет вид:

--=Ау(Я.),

(9.49)

где А, = < - пГо и 0< Я, Ti; Ti = ti+i - ti - интервал аппроксимации (I = О, 1, 2...).

Уравиеине переходных состояний, описывающее изменение переменных состояния а моменты кваитоваини, а векторной форме представляется как v (п Г + ) = B,v (пГ + + ti).

Решение урааиеиия состояния (9.49) находится а виде

v{t):=Vilt-nTo)v(nTo),

где <t-пТо) Hi(t-nn-ti) Hii X X(ii-ti d Ях (t-tr) Яо rtx); Hi(f-- nTt - ti) = Oi (< - пГо - ti) Bi.

Рассматривая совокупность цифрового регулятора н иелниейиого элемента системы как усилительный элемент с переменным коэффициентом усиления, с помощью схемы системы в переменных состояниях можно осуществить синтез нелинейных дискретных систем, например с минимальной длительностью переходных процессов при воздействиях вида ступенчатой функции.

Качественный гфибяижеииый анализ и синтез цифровых систем управления электроприводами можно производить методами математического и физического моделнвоввшш 19.20]. *