Следовательно, в установившемся режиме частота следящего генератора fr равна частоте входного сигнала: fc=rfr (если, конечно, fc постоянно). Таким образом, система ФАСЧ является астатической. Характерная особенность этой системы со- стоит также в том, что она содержит нелинейный элемент с периодической нелинейностью. Если амплитуда одного из напряжений- сигнала Umc или следящего генератора итт - много меньше другого, то Кд пропорционально наименьшему из двух напряжений (см. стр. 149). Если они одинаковы

то Кд пропорционально Um. Так как коэффициент Кд является сомножителем общего коэффициента передачи К, возникает задача его стабилизации. .В некоторых слу- г чаях это удается сделать с помощью ограничителя Или системы автоматической регулировки усиления; в противном случае с изменением параметра приходится считаться.

Величина Кд равна максимальному напряжению на выходе ФД, которому соответствует наибольшее возможное напряжение %:

Иу макс - КдКп.у

(Кш.у - коэффициент передачи промежуточных устройств). Следовательно, максимально возможное отклонение частоты следящего генератора равно:

А/г.макс = КуИу.макс - КуКдКш.у = Л*.

Очевидно, величина 2К равна полосе удержания системы 2AfYfl=2A, поскольку именно такова общая величина максимального отклонения частоты сигнала, на которую можно отклонить частоту генератора в установившемся режиме (ниже это положение доказывается .более строго). Поскольку в состав системы входит нелинейный элемент, непосредственное определение передаточной функции системы по передаточным функциям элементов невозможно. Поэтому запишем соотношения, описывающие отдельные элементы системы: . фазовый детектор

Иф.д = Кд cos ср; (22-14)

Ф = 2п j (fc - fr) dt=А/, (22-15)

Af=f с-fr - расстройка; (22-16)

промежуточное устройство

у = £(£>) ф. ; (22-17)

F(D) -передаточная функция промежуточных устройств (фильтрующих цепей). Усиление в этих устройствах без ограничения общности отнесем к управителю частоты, так .что /7(0) = 1; управитель частоты

Д/г = Куиу, (22-18)

где Afr=fr-fro - отклонение частоты генератора от номинального значения, соответствующего у = 0.

В соответствии с написанными соотношениями на рис. 22-40 построена структурная схема, содержащая один нелинейный элемент.

Используя равенства (22-16) - (22-18), составим уравнение для разности фаз колебаний ф:

D ф = 2л; (/с - /го) - 2пКуКд cos ф F(D).

Введем в рассмотрение отклонение круговой частоты сигнала

АсОс ~ СОс - СОсО

Тогда

D ф + 2л; KF(D) cos ф =

= Дсон + Дсос = Дсо. ;(22-19)

Здесь Дсон=сосо-сого=2я(/со-fro)-величина начальной расстройки между номинальными частотами сигнала и генератора; Дсо=Дсйн+Дсос - общее отклонение частоты.

Рассмотрим состояния равновесия простейшей системы без фильтра. Так как при этом F(D) - l, уравнение (22-19) запишется так: ,

-~ + Дсоы cos ф = Дсо, (22-20) at

Асом = 2я К = 2п КяКу

- максимально возможное отклонение кру- говой частоты следящего генератора. Для анализа уравнения (22-20) построим фазовый портрет системы (сул. стр. 127), т. е. зависимость xF=d(f/dt от ф при определенных постоянных значениях Дсо (рис.. 22-41).

Состояниям равновесия соответствуют точки пересечения интегральных кривых с

Рис. 22-40. Структурная схема ФАСЧ*

осью абсцисс. Для этих состояний

dtp ~dt

ср = arccos

= 0-

Дса Дсом

Точки У соответствуют устойчивым состояниям равновесия, точки Н - неустойчивым.

ответствует определенному постоянному значению Дсо, а каждая точка этой кривой - начальной величине разности фаз в системе. Из рис. 22-41 видно, что процесс установления частоты всегда носит апериодический характер. Таким образом, анализ простейшей нелинейной системы позволяет на фазовой плоскости наглядно определить, какие из состояний равновесия устойчивы, а также установить, как ведет себя система при любых . начальных условиях.

Рис. 22-42. Структурная схема фазовой системы автоматического слежения за фазой (ФАСФ).

Рис. 22-43. Характеристика фазового детектора У - равновесные состояния, у которых осуществляется линеаризация системы; Я - неустойчивые состояния равновесия.

Рис. 22-41. Фазовый портрет системы ФАСЧ без фильтра (а - семейство интегральных кривых; б - отдельная интегральная кривая).

Интегральная .кривая 0 соответствует Л(001=0 для интегральных кривых 1, 2 До)М > Лшог > 0> для кривой 3 Д< оз<0.

Для устойчивых состояний Ф - фу - -фо+2& зт,

k = 0\ 1, 2 ... (22-21)

Для неустойчивых состояний Ф = Фв = Фо ± 2fe зт, fe=0, 1, 2 ....

фо = arccos Дсо/Дсом (22-22)

- главное значение обратной тригонометрической функции.

Ясно, что состояния равновесия возможны только при условии ДсоДсом. При Дсо>Дсом следящий генератор будет модулирован по частоте, поскольку рабочая точка непрерывно перемещается вдоль интегральной кривой в сторону нарастания (когда Дсо>0) и убывания (Дсо<0) угла ф. Таким образом, можно утверждать, что величина 2Дсом является круговой полосой удержания системы. Одновременно этой же величиной определяется также полоса схватывания системы (для этих систем она носит специальное название полоса захвата).. Каждая интегральная кривая со-.

Практический интерес представляет также фазовая система автоматического слежения за фазой (ФАСФ), когда осуществляется сравнение не частот, а фаз входных колебаний фс и колебаний генератора фг. Учитывая, что ф=фс-фг и Фг= =2я \fT(t)dt, придем к структурной схеме (рис. 22-42), отличающейся от схемы ФАСЧ лишь местом включения интегрирующего звена, функции которого в данном случае падают на управитель частоты. Эта схема является также астатической и для нее справедливо все, что было изложено о состояниях равновесия системы ФАСЧ. В литературе обычно не делают различий между системами ФАСЧ и ФАСФ, называя ту и другую системой фазовой автоподстройки (ФАП).

Анализ линеаризованной системы Основные закономерности процессов в системе с различной структурой фильтра F(D) при малых отклонениях разности фаз можно выявить при линеаризации системы (см. стр. 126). Предположим, что общее отклонение частоты состоит из начального Дсоо, соответствующего исходной разности частот сигнала и генератора и дополнительного приращения частоты сигнала 6сос(г). Будем считать величину Дсоо постоянной. Ей соответствует рабочая точка У на нелинейной характеристике ФД (рис. 22-43), соответствующая разности фаз фу=-фо±2йя, где

фо определяется равенством (22-22). Линеаризуем систему у этого состояния равновесия, для чего разложим функцию Ыф.д(ф) в ряд у точки У, ограничиваясь двумя членами

Иф.д = Кд COS ф = Кд COS фу - -

-Кд sin фубф = Кп cos фо + Кд sin фобф.

Здесь бф - малое отклонение фазы, обусловленное отклонением частоты бсос. i

Постоянная составляющая напряжения ФД ф.до=ад cos фо определяет исходное равновесное состояние системы (рис. 22-43).

Таким образом, в результате прираще-

Sf 6(0с

ния частоты сигнала ofe=-r- напряже-ние на выходе ФД получает приращение биф.д = Кд sin фобф = КдКйб<р,

где Ko=ie =sin фо - коэффициент, зависящий от начального отклонения частоты Дсоо.

Поскольку все остальные элементы системы линейны, то структурная схема на рис. 22-40 приводится к структурной схеме на рис. 22-44, справедливой лишь для малых отклонений фазы

бф = j бсо (0 Sdt С я/2, (22-23)

где бсо=6сос-бсог.

Заметим, что в системе не отображена инерционность фазового детектора. В дальнейшем эту инерционность отнесем к промежуточным устройствам и будем учитывать в передаточной функции F(D). Считая, что последнее условие выполняется, можно найти реакцию системы на малый скачок частоты, на действие шумовых сигналов, вводимых в различные точки системы, а также сделать заключение об устойчивости исходной нелинейной системы при наличии фильтра. Последнее осуществляется на основании теоремы Ляпунова (см.- стр. 123), поскольку структурная схема на рис. 22-44 соответствует уравнениям первого приближения. Если система с пет редаточной функцией

Kv f (р) б/г W(p) = к =

р of

(Kv = 2яЛдДуло)

устойчива, то исходная нелинейная система в рассматриваемом состоянии равновесия также устойчива. Неустойчивость линеаризованной системы свидетельствует о неустойчивости исходной нелинейной системы.

Типовыми системами ФАСЧ являются: система с однозвенным инерционным фильтром

f (р) =---

к ! Тр + 1

(Г - постоянная времени фазового детектора при отсутствии фильтра или постоянная времени фильтра, если последняя существенно больше первой);

система с форсирующим звеном (пропорционально-интегрирующим фильтром) выполненным по схемам на рис. 22-45.

Рис. 22-44. Структурная схема линеаризованной Системы.

jHb-j

О* W.

-4-е

0-1-0 0--£<э 0.

Рис. 22-45. Различные модификации форсирующих звеньев (пропорционально-интегрирующих фильт* ров), используемых в системах ФАСЧ.

а, б - с. одной емкостью; в - с -двумя емкостями.

Передаточная функция корректирующего фильтра

fk(j>) = kk \ ~\т*р (22-24) i + Tp

Величины, входящие в эту формулу, выражаются:

для фильтра на рис. 22-45,.а

к= , ~; Тк = г? id;

R1 + R2 Т = Кк C1R1 = Кк Тк;

для фильтра на рис. 22-45,6 Кк = 1; Тк, = Я2С2; Г = (/?, + Я2)С2; -s для фильтра на рис. 22-45, в

Кк = 1; Гк = fl.C,; Т = Я, (С, + С2);

система с пропорционально-интегрирующим и инерционным фильтром:

f (р)

1+ТкР

(7 + 1) (7 + 1)

(22-25)

В двух последних системах предполагается, что постоянная времени ФД достаточно мала. Все системы, за исключением последней, устойчивы при любых параметрах системы. Однако при увеличении Kv структура системы может меняться, поскольку возникает необходимость в учете малых параметров. Для системы с пропорционально-интегрирующим и инерцион-