пренебречь по сравнению с единицей; тогда

L(co) 20ig К - 201g 1 = 20ig/(.

Для низких частот ЛАХ является прямой, параллельной оси частот, на уровне 201g К. Для высоких частот со со,- в подкоренном выражении можно пренебречь единицей. Тогда

£.(со) = 20Ig К - 201g со Т.

Выражение 20 lg соГ=20 lg со+20 1 g Т в логарифмическом масштабе представляет прямую, пересекающую ось абсцисс в точке

weTlf/T

Рис. 21-16. Логарифмическая амплитудная характеристика инерционного звена.

К=20 и Г =0,06 сек; в=1/Т.

а=сог, поскольку 201gcui7=201g 1=0. Ординаты этой прямой при увеличении частоты в 2 раза (от со до 2 со) возрастают на

Д12 = 201g 2со Т - 201g со Т =

= 20lg2 = 6 дб,

а при увеличении частоты в 10 раз (от со до 10 со) -на

AZ.it, = 20 lg lOcoT -201gcoT =

=20 lg 10 = 20 дб.

Это выражают словами: наклон прямой равен 6 дб на октаву или 20 дб на декаду. Ясно, что прямая -20 lg соГ также пересечет ось абсцисс в точке со,-, но будет иметь наклон -6 дб на октаву или -20 до на декаду.

Таким образом, точную ЛАХ можно заменить приближенной, состоящей из двух отрезков: горизонтального - до частоты Юг = 1/7 и наклонного (с наклоном -20 дб на декаду), выходящего из точки Л, имеющей абсциссу cos (рис. 21-16). Приближенная ЛАХ пересекает ось абсцисс на частоте

(£>с=К/Т, ПОСКОЛЬКУ При С0 = СОс L(C0c) =

=20 lg /С-20.1gcocr=20 Ig/C-20 lg/C=0.

Частота co,-=l/7 излома приближенной ЛАХ называется частотой сопряжения. Точная ЛАХ идет ниже приближенной (пунктирная . линия). Максимальной ошибка будет на частоте сопряжения и составляет величину

A(t)=;20 lg V 1+(со,-Г)2 =20 lg]/~2~= 3 дб.

Практически всегда пользуются приближенной ЛАХ, поскольку она строится чрезвы-

чайно просто и мало отличается от истинной.

, Логарифмическая фазовая характеристика может рассчитываться по стандартному графику (рис. 21-17). На частоте сопряжения фазовый сдвиг составляет -45°, поскольку

COj п

ф(1/Г) = -arctg - = - --.

СО; 4

Рис. 21-17. Логарифмическая фазовая характеристика 4>(ю/юр инерционного звена.

Рис. 21-18. Переходная характеристика инерционного звена.

Переходная характеристика звена является экспонекл-ой с постоянной времени Т (рис. 21-18):

h(t) =k(i - е Т)-

Эта характеристика получается путем нахождения обратного преобразования Лапласа выражения (см. стр. 17)

Р. Р(Тр+ 1) .

и является оригиналом этого изображения.

При подаче на вход ступенчатого сигнала величины Х0 выходной сигнал

y(t)

= KX0(l-e т).

Установившегося значения {/уст = (0,9 + 0,95) КХв и куст~ (0,9-7-0,95) К выходная величина достигает через (2,53)7. Следовательно, время установления процесса (от нуля до указанного уровня) гУст=(2,5-т-3) Т.

Импульсная переходная характеристика (весовая функция) .

8(f)

dh (t) dt

К х

- е Т

представляет собой спадающую экспоненту (рис. 21-19); при t<Q, g(t)=0.

Пример 1. Покажем, что фильтр RC нижних частот (рис. 21-20) является инерционным звеном.

Рис. 21-19. Весовая функция.

в* i

Рис. 21-20. Фильтр RC нижних частот - пример инерционного звена.

конденсатор заменяется операторным сопротивлением 1/рС:

UBX(P) = I(P)[R f

:(Р) =

= -7Г. т. е. / (р) = сУВЫх рС. рС

Следовательно, (Увх = (RCp+l) и

W(p)

вых (Р)

UBK{p) Тр+1

Пример 2. Резистивный усилитель с учетом выходной емкости лампы и входной емкости следующего каскада Сп (рис. 21-21, а) как пример инерционного

Рис. 21-21. Резистивный усилительный каскад как инерционное звено.

а - схема; б - эквивалентная схема; в - обозначение звена.

При синусоидальном входном сигнале с комплексной амплитудой 0ВЖ

/соС

е. / = £/

отсюда

вых /соС,

1 ) =

UBX = UBbIxjaC\R +

= 0Вых(/< #С + 1).

Отношение выходного напряжения ко входному является передаточной функцией в комплексной форме (комплексным коэффициентом передачи). Это отношение показывает, что рассматриваемый фильтр является инерционным звеном:

К (/со)

где Г=ЯС.

Г/со + 1

Тот же результат. получается, если записать закон Кирхгофа для цепи, в которой

Используя эквивалентную схему, (рис. 21-21,6) можно записать:

suE

У = У + У* + У г =

вн 1 а с

1 1 .

= - + - +/соСп;

*вн Да

вых - - вх

вн а

SRa Reh

Яа+Явн+/соСп Ra RB

SRbh Ra

Ra ~b Rbb , , , Cn Rs Ra 1 +/C0-

Ra+ Re

Увн = 1 / Ran - внутренняя проводимость лампы;

Yc = /соСп - суммарная емкостная проводимость; У a - 1/#а-проводимость анодной нагрузки.

Обозначая

йаНЯвн = Я;

S/?a Rbb

Ra + вн

SR;

*\а ~г *\вн (при #БН3>£а, RRa), находим

г/(со)

/((/ =

/соГ+1

Поступая аналогично для операторных сопротивлений, получаем:

вых (Р)

Звено второго порядка

Звено второго порядка характеризуется передаточной функцией вида

Рис. 21-22. Амплитудно-фазовая характеристика звена второго порядка для двух значений Ч> -

Параметры звена (рис. 21-22,а):

Л - коэффициент передачи, т. е. отношение выходной величины к входной в установившемся режиме (при г= со);

Т-постоянная времени звена (размерность в секундах);

£-коэффициент затухания (безразмерная величина); при £<1 процессы носят колебательный характер, а при £>1 - апериодический.

Комплексный коэффициент передачи

К (/со) = ----=

Тг(/со)Ч-2£7(/со)+ 1

К

(1- со2 Г2) +/со 2£Т

Звено второго порядка описывается следующими характеристиками:

Амплитудно-фазовая характеристика

К (/со) = и (со) + /а(со),

/Г(1 -со2 Г2)

и (со) = Re К (/со) =

Im К (/со) = -2iCcofT

(1-со2 Г2)2 + 4£2 со2 Г2

Амплитудно-фазовая характеристика (рис. 21-22) располагается в нижней полуплоскости. При со=0 она пересекает ось и в точке с абсциссой К, при частоте со = =0)0=1/7 - ось v в точке с ординатой К/Ж а .с увеличением со стремится к началу координат. Частоту со0 обычно называют

Рис. 21-23. Амплитудно-частотная характеристика звена второго порядка.

по аналогии с колебательным контуром частотой собственных (или свободных) колебаний звена. С уменьшением £ характеристика деформируется, вытягиваясь вниз влево. Амплитудно-частотная характеристика

К (со) = \К (/со) = ViP (со) + 2 (со) = К

]/(1 - со2 Г2)2 + 4£2 со2 Т2

При £<0,71 характеристика К(со) имеет максимум .(рис. 21-23). С уменьшением £ кривые вытягиваются вверх, причем максимум постепенно стремится к вертикальной прямой,- проходящей через точку со=соо= = 1/Г.

Фазо-частотн&я характеристика 2СсоГ

ср (со) = - arctg-.

v I - со2 Т2

При со=0 <р=0; при со=то ср=-я.

?И 1 2

(1 - со2 Г2)2+4?2 со2 712

Рис. 21-24. Фазо-частотная характе-ристнка звена второго порядка.