Найдем, пользуясь методом статистической линеаризации, дисперсию и математическое ожидание аВых, т,ых выходной величины ©вых для этой системы [Л. 4]. Зададимся следующими числовыми данными: К =5 \/сек, а=0,1 1/сек, а=0,25 ед2, уо=0,5 l/сек, Т=0,1 сек. Предварительно приведем схему к виду, соответствующему рис. 21-107, когда нелинейный элемент располагается в цепи обратной связи и выходной сигнал преобразованной системы является входным сигна ом нелинейного элемента. Это преобразование осуществляется аналогично тому, как было сделано, на рис. 21-101 или 21-102. В соответствии с исходной схемой запишем

Z = ©вх - ввых = ©вх - F(Z) Ц7Л.Ч

-F(z) = u - F(?)=u - y,

U = 6вХ/1Гл.ч, у = F(z), Следовательно.

z= Wx.4[u~ F(z)] = Wa.4(u - y).

В соответствии с последним равенством схема на рис. 21-111, а преобразуется в схему на рис. 21-111,6. Действительно, величина z получается как результат прохождения разности и-у (т. е. сигнала в точке М) через звено Wx.4. В свою очередь сигнал и находится в результате прохождения сигнала ввх через звено 1/№л.ч.

aft)

Рис. 21-112. Структурные схемы для вычисления дисперсий и средних значений сигналов на входе нелинейного элемента

а - для математических ожиданий (средних значений); б - для дисперсий.

Таким образом, из схемы на рис. 21-111,6 в результате линеаризации получаем схемы на рис. 21-112, которые отличаются от схем на рис. 21-108 только входными сигналами: вместо тВх и /гаВЫх здесь имеют место сигналы a(t) и /иг, а вместо - х° и г°. Передаточная функция

замкнутой системы для математического ожидания (схема на рис. 21-112, а) с учетом

стоящего впереди звена р(Тр+\)

Ф0 =

Р (Тр + 1)

Р (Тр + 1) р(Тр+1)

Р (Тр + 1) + кк0

В результате прохождения сигнала a(t) ==л:о-1-Оо(Г) через систему с передаточной функцией Ф\(р) в установившемся режиме получим:

тг = -£Г.. (21-178)

Аналогично передаточная функция для случайной составляющей (с учетом действия звена 1/Wj, ч)

Ф1= Р(Гр+) . p(Tp + \) + KKi

Соответственно для дисперсии выходного 2 о

сигнала ог при подаче на вход помехи х

найдем:

°г = J Sx (со) Фг (/со)2 dco. (21-179)

л П1

Этот интеграл определяем по табл. 21-7, в результате чего найдем:

а + KKi + &ГТ

(21-180)

В записанных выражениях коэффициенты Ко и Kt являются функциями математического ожидания mz и дисперсии а2 величины z, и для релейной характеристики они выражаются формулами (21-172) и (21-173).

Согласно изложенной методике запишем систему уравнений (21-177): l = mz:

ККо (mz, az)

(21-181)

Аналогично рис. 21-110 нанесем на график (рис. 21-113) прямую £ = /я2. Затем, задаваясь значениями аг=0,1; 0,25; 0,5 и т.д., построим для каждого из них кривую зависимости от mz в соответствии со вторым уравнением (21-181). Для этого нужно предварительно для каждого фиксированного значения oz по формуле (21-172) вычислить

2-1 / тг \ коэффициент Ко=-Ф-- , причем не-

тг \ az I

зависимой переменной здесь будет величина mz. Функция Ф(г). t=mzlaz находится, как это указывалось на стр. 138, по графику рис. 21-109.

По точкам пересечения кривых, соответствующих различным значениям oz, с прямой % = mz (рис. 21-109,6) строим кривую 3 в координатах (az, mz) (рис. 21-113).

£лг 0/0 4 г

0 0>gfft0S 0tT0 0}fS 0,20

Рис 21-113. Графики к расчетному примеру для иллюстрации метода статистической линеаризации.

Далее по значениям az и тг, соответствующим различным точкам этой кривой, определяем коэффициент К\ [формула (21-173)]. Для каждого значения К\ (и соответствующего ему значения mz) по формулам (21-180) находим величины of и о2 и строим кривую 2. Точка А пересечения кривых соответствует значениям oz=0,26 ед и тг= = 0,034 ед. Подставляя эти величины в формулы (21-172) и (21-173), определяем окончательно коэффипиенты

Ф

0,034 3,14 и Ki =

Г 0,034 ] [ 0,26 J =

0,034

0,0517 =

0,26

/0,034\ 1/2 .4ф2 !-

U.26/.

:3,85.

Теперь переходим к определению мате-матичеи ого ожидания и дисперсии выходного сигнала по исходной структурной схеме (рис. 21-111, в), в которой F(z) заменяется величиной Ко при определении математического ожидания и Ki при вычислении дисперсии.

а) Для математического ожидания mB i. В установившемся режиме система ; астатизмом первого порядка для линейно изменяющегося сигнала имеет постоянную ошибку (см. стр. 54)

ti 0,5

Поэтому среднее значение выходного сигнала

Шъыл = Хо -f- Vot - ©уст =

= х0 + 0,5 г - 0,33. б) Для дисперсии выходного сигнала

<4,х = i~ j S*M 1 фml~dw-

Здесь

Ф (/СО) :

/со (Т/со) + 1 -f KKi

Вычислив этот интеграл или воспользовавшись табл. 21-7, получим:

1+аТ

= 0,25.5-3,85-

1а+ ККг + а?Т~ 1 + 10-0,1

10 + 5-3,85 + 100-0,1 = 0,246 ед2 или aBb,x==0,49 ед.

Найденные величины тБых и оВых являются окончательным решением задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Красовский А. А., Поспелов Г. С, Основы автоматики и технической кибернетики, Госэнергоиздат, 1962.

2. П у г а ч е в В. С, Теория случайных функпий и ее применение к задачам автома- тического управления, изд. 3-е, Физматгиз, 1962.

3. Солодовников В. В., Статистическая динамика линейных систем автоматического управления, Физматгиз, 1960.

4. Основы автоматического управления под ред. В. С. Пугачева, Наука , 1968.

5. Тихонов В. И., Статистическая радиотехника, изд-во Советское радио , 1966.

6. Ньютон Д. К., Гулд Л. А., Кайзер Д. Ф., Теория линейных следящих систем, Физматгиз, 1961.

7. Бессекерский В. А., Попов Е. П., Теория систем автоматического регулирования, изд-во Наука , 1966.

8. Литвинов А. П., Моржа-ков С. П., Фабрикант.Е. А., Основы автоматики, изд-во Машиностроение , 1967.

9. Красовский А. А., Динамика непрерывных самонастраивающихся систем, Физматгиз. 1963.

10. Ф е л ь д б а у м А. А., Основы теории оптимальных автоматических систем, изд-во Наука , 1966.

11. Пупков К. А. Статистический расчет нелинейных систем автоматического управления, изд-во Машиностроение , 1965.

12. К а з а к о в И. Е., Д о с т у п о в Б. Г., Статистическая динамика нелинейных автоматических систем, Физматгиз, 1962.

13. П и т е р с о н И. Л., Статистический анализ и оптимизация систем автоматического управления, изд-во Советское радио , 1964.

14. Цыпки н Я. 3., Теория импульсных систем, Физматгиз, 1958.

15. Федоров С. М., Литвинов А. П., Автоматические системы с цифровыми управляющими машинами, изд-во Энергия , 1965.

16. Ту Юлиус Т., Цифровые импульсные системы автоматического управления, изд-во Машиностроение , 1964.

17. В о р о н о в А. А., Основы теории автоматического управления, ч. 1, 2, изд-во Энергия , 1966.

18. С к л я р е в и ч А. Н., Операторные методы в статистической динамике автоматических систем, изд-во Наука , 1965,

19. П е р о в В. П., Статистический син-

тез импульсных систем, изд-во Советское радио , 1959.

20. Е г о р о в К- В., Основы теории автоматического регулирования, изд-во Энергия , 1967.

21. Андронов А. А., Витт А. А., X а й к и н С. Э., Теория колебаний, Физматгиз, 1959.

22. Г е л ь ф а н д А. О., Исчисления конечных разностей, изд. 3-е, изд-во Наука, 1957.

23. Г и т и с Э. И., Автоматика радиоустройств, изд-во Энергия , 1964.

24. Метод Гольдфарба в теории регулирования, изд-во Энергия , 1962.

25. Большаков И. А., Г у т -кин Л. С, Левин Б. Р., Стратоно-в и ч Р. Л., Математические основы современной радиоэлектроники, изд-во Советское радио , 1968.