Представляя сигналы в комплексной форме для комплексных амплитуд входа (z) и выхода (Y,), запишем:

Z = A; Yt = К (j А)

К(А)е(А),

К(А) = -/ а2(А)+Ь\(А)

а* (А) h(A)

Отсюда получаем нормированную передаточную функцию нелинейного элемента

КК(]А):

Зависимость-

К (А) =

= КН(А), К (А)

К (A) eJq> (A)

/Ф (А)

называют амплитудной, а фнС) - фазовой характеристикой НЭ. Для всех приведенных в табл. 21 12 нелинейностей, кроме нелинейностей типа люфта фн(Л)=0, т. е. нелинейный элемент не вносит дополнительного сдвига. Для таких НЭ а4=0 и

bi 1 Г Кн (А) = -j- = - j F (A sin ф) sin фо*ф.

Фазовый сдвиг появляется в том случае, когда НЭ имеет неоднозначную характеристику.

В практике используется также обратная амплитудная характеристика

z <Л> = 7-717 (21-156)

Пример. Найти амплитудную характеристику НЭ релейного типа (табл. 21-12, поз. 3). Так как характеристика симметрична, а4(Л)=0 и фя(Л)=0.

На рис. 21-103 представлены диаграммы сигналов для этого нелинейного элемента. Выходной сигнал является прямоугольным с амплитудой В. Учитывая формулы (21-153) и (21-155), находим:

К (А) = ~ Гб sin ф о*ф лА J о

4В лА

В отдельных случаях желательно иметь в системе автоколебания малой амплитуды, поскольку при этом снижается вредное влияние люфтов, зон нечувствительности ит д. на точность системы.

Возможность возникновения автоколебаний в нелинейной системе выясняется следующим образом. Пусть сигнал на входе системы (рис. 21-100) отсутствует (ввх=0).

(21-154)

(21-15Е)

Рис 21-103. Диаграммы сигналов для релейного нелинейного элемента.

о - характеристика; б - входной сигнал; в - выходной сигнал.

Тогда с учетом характеристики НЭ запишем следующие равенства:

©вых = УРл.чУ,

y = KB(jA)z\

г - -0ВЫ1-

Для того чтобы в системе могли возникнуть синусоидальные автоколебания, необходимо, чтобы коэффициент усиления для некоторой частоты со в контуре (от входа НЭ до выхода ЛЧ) был равен единице, а фазовый сдвиг в этих элементах составлял 180°, т. е. было справедливо равенство

W .4{j(o)KuUA) =-1, (21-157)

(заметим, что дополнительный фазовый сдвиг 180° создается в элементе сравнения, так что общий сдвиг фазы в замкнутой системе составляет 360°) или

№л.ч (/< >) =

гС UА)

= -zH(M> =

1 -/<р (Л)

(21-158)

где Zn(jA)-обратная амплитудная характеристика нелинейного элемента.

Проще всего установить возможность выполнения равенства (21-158) графически с помощью построения соответствующих характеристик й/п.ч(/со) и ZB(jA) на комплексной плоскости (и, jv).

Если указанные характеристики пересекаются, решение уравнения (21-158) существует и в системе могут возникнуть колебания на тех частотах сот и с той амплитудой Am, которые соответствуют точке М пересечения характеристик (рис. 21-104,6).

Далее необходимо установить, будут ли эти колебания устойчивы. Определение устойчивости может проводиться с помощью различных правил. Одно из них со-

Рис. 21-104. Диаграммы для определения возможностей существования автоколебания

в системах с НЭ.

о. - автоколебания невозможны; б - автоколебания возможны с частотойи амплитудой Дт и устойчивы; в - автоколебания еозможны в точках 1 и 2, но в точке 2 они

неустойчивы.

стоит в следующем. Если разомкнутая система устойчива, то необходимо установить, куда переходит точка характеристики -2Я НЭ при движении вдоль нее в сторону увеличения А. Если точка переходит внутрь петли амплитудно-фазовой характеристики йл.чОсо), автоколебания неустойчивы, если точка выходит из этой петли - устойчивы.

Так, устойчивым автоколебаниям на рис. 21-104,е соответствует только точка /; точке 2 соответствуют неустойчивые автоколебания.

Для определения возможности возникновения автоколебаний, а также их частоты сот и амплитуды Ат можно воспользоваться также построением логарифмических характеристик:

L(co, А) = 20 lgWW/co) +

+ 20 lgKH(M);

ф(со, А) = фл.,(ш) + (рв(А)

для различных значений А.

Если существует такая величина А, для которой ЛФХ пересечет уровень -п на частоте среза сое, то в системе возможны ав токолебания, причем частота автоколебаний шт (0с, а амплитуда Ат соответствует точке со с.

В том случае, когда фн=0 и KB(jA) = = К(А), нелинейное звено имеет однозначную характеристику и процедура нахождения Вт к Ат упрощается.

Из равенства (21-157) в этом случае следует:

[ (со) + jv((n)\KB(A) = -1 (21-159)

и(и)Кв(А) = - 1; (21-160)

г>(со) = 0, (21-161)

где ы(со) и о (со) - вещественная и мнимая характеристики линейной части системы.

Последнее равенство позволяет сразу определить частоту автоколебаний. Из него также следует, что частота сот, на которой могут возникнуть автоколебания, не зависит от свойств нелинейного элемента [в уравнение (21-161) не входят параметры-нелинейного элемента]. Из равенства (21-160) определится амплитуда колебаний

К (Ат)=-

(Wm)

(21-162)

Необходимо отметить, что рассмотренный метод гармонической линеаризации дает лишь приближенные значения амплитуды и частоты автоколебаний.

Пример. Определить условия возникновения автоколебаний, их частоту и амплитуду в системе, состоящей из релейного элемента и линейной части с передаточной функцией

4(P)= PiTlp + i)(T2p + -i)

Характеристика - zB(A) релейного нелинейного элемента (см; табл. 21-12, поз. 3) совпадает с отрицательной полуосью абсцисс левее точки (-1, /0). Поэтому пересечение этой характеристики с амплитудно-фазовой характеристикой №л.ч(/со) (а следовательно, и возникновение автоколебаний) возможно только при условии, что характеристика охватывает точку (-1, /0), т. е. когда система без нелинейного элемента с фильтром УХ7л.ч(р) теряет устойчивость (рис. 21-105, кривая 2). Используя алгебраический критерий (см., например, стр. 48), находим, что потеря устойчивости происходит при

к>+4-=ккР-

1 1 i 2

Это будет также условием возникновения автоколебаний в системе с нелинейным элементом.

Амплитуду Ат и частоту ш m автоколебаний можно найти графически, построив амплитудно фазовую характеристику

Ил.чОсо) = и(со)

и установив, при каких вел!чинах сот и Ат происходит пересечение этой характеристики с линией - ZB(A). Для выбранного НЭ Фа =0 и частоту автоколебаний проще най-

Рис. 21-105. Диаграмма для определения существования автоколебаний (см. пример).

ти аналитически из равенства (21-161), а амплитуду - из равенства (21-160). Запишем:

й7.1.ч(/ю) =

ТгТ2 Ua)s+(Ti+T2)(M*+/со К \- ш2 (Г,+Г2) - /со (l-TiTaC)] = К (7\ + T2)f + (1 - Гсо2)2 со -Следовательно,

- /(со2 (Тг + Т2)

и (со) = v (со) -

со4 (Г, + Г2)2 + со2 (1 - соТг)2 со(1 - соГг)

соМГ, + Г2)2 + со2 (1 - соТО)2

Частоту определим, полагая что и(со) = =0. Тогда

<ат(1-Г17,2шт)=0--Отсюда получаем:

(От =

Амплитуду найдем из уравнения

и(т)Кп(А) = -1.

Так как /Ся=4В/яЛ, то для определения Ат запишем:

К (Т, + Т2) - = co, С, + 72)2 +

Отсюда

Ат =

я 7\ + Т2 Автоколебания в системе будут устойчи-

выми, поскольку при увеличении А изображающая точка выходит из петли, охватываемой характеристикой йл.чОш).

Статистическая линеаризация

Метод статистической линеаризации * [Л. 12] нашел широкое применение для анализа автоматических систем, содержащих существенно нелинейные элементы, при воздействии на них случайных сигна лов. Рассмотрим кратко основные идеи этого метода.

Предположим, система содержит нелинейный безынерционный элемент с симметричной характеристикой

= F{z).

(21-163)

Будем считать, что входной сигнал z(t) является суммой полезной составляющей a(t) и помехи, являющейся центрированной случайной стационарной функцией времени г°, т. е. z(t) = a(t) + z°, так что математическое ожидание входного сигнала mz=a(f), то z=mz+zf. В результате прохождения нелинейного элемента на его выходе получается сигнал

у*=Ь + у* = тг+у*,

где b - tns - полезная составляющая, равная математическому ожиданию, а у0 - флуктуационная составляющая с нулевым математическим ожиданием.

z-mz +z°

F(z)

ка -1

Рис 21-106. Замена нелинейного звена линейным эквивалентным звеном.

Идея статистической линеаризации состоит в замене нелинейного звена с характеристикой (21-163) некоторым линейным эквивалентным звеном с различными коэффициентами передачи для среднего значения (/Со) и флуктуационной составляющей (Ki). Выходной сигнал u(t) эквивалентного звена (рис. 21-106) можно записать в виде

u(t) = Komz + К,г°. (21-164) * Предложен И. Е. Казаковым.