Разделы


Рекомендуем
Автоматическая электрика  Автоматика радиоустройств 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [ 36 ] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270

Передаточная функция замкнутой системы для е=0

W(z)

Ф (г) = -

1 + W (г)

1,26г А (г)

г2 -0,11г+0,37 В(г)

(21-113)

Учитывая, что на вход воздействует единичная ступенчатая функция 1(г ), для г-преобразования дискретной переходной характеристики имеем:

Н (2) =

2- 1 1.2622

Ф\г)

(г - 1) (г2 -0,Пг+0,37) 1,26г2

г3- 1,11 г2 + 0,48г +0,37

. (21-114)

Наиболее простой способ определения h[nTn] состоит в делении числителя на знаменатель функции H(z). В результате находим:

Н (г) = 1.262-1 + 1,4г-2 + 0,92~3+ .+=

= S h[пТ ] г~п.

Отсюда сразу получаем (рис. 21-90, а):

h[Tu] = 1,26; Л[27п] = 1,4; h[3Ts] = 0,9...

Установившееся значение выходной величины, соответствующее п -* со, определяем по теореме о конечном значении (см. стр. 96):

ftycT = h (со) = lim h [пТп\ =

= lim---Я(г) = 1шФ(г) = 1.

z-*i г z-l

Таким образом, найдены значения решетчатой переходной характеристики.

Найдем ту же характеристику путем разложения на простейшие дроби (использованием формулы на стр. 111). Определим полюсы Ф{г). Из выражения (21-113) видно, что полюсы находятся из уравнения

г2 -0,11 2+0,37 = 0.

Отсюда получаем:

Zi = 0,05 + /0,06; г2 - 0,05 - /0,6.

, Найдем далее величины pv=cv+/6v, соответствующие полюсам zv, т. е. приведем -выражения, входящие в г-преобразова-ние выходного сигнала, к табличной форме.. Для корня 2i=0,05+/0,6, получаем:

0,05+ i 0,06 = /п ( ! + %).

Отсюда

cos Та рх = 0,05;

ЛГп8шГпр, = 0,6. В результате найдем:

а.Тж = -0,5; BiTn = -1,49

ш = -5; В4 = 14,9. Следовательно,

2i = е-°.1(5+г 4.Э),

Корень z2 сопряжен с корнем zl и, следовательно,

г2 = e-o-s-J i4,9)

Для упрощения дальнейших выкладок учтем, что при подстановке сопряженных значений zx и 22 вформулу разложения на простейшие дроби (21-108) перед сопряженными комплексными числами е-°5+н и е-о,н5-зи,9) будут сопряженные комплексные коэффициенты u+jv и и-jv, так что < сумма в выражении (21-108) имеет вид:

(и + jv) еа+Р + (и - jv) ea~p =

= 2K[ cosB - w sin В].

Здесь через а и В обозначены:

а = - 5 пТп; В = 14,9 пТп,

а и и v находятся из равенства, полученного в результате подстановки корня Z\ в выражение

Г A jz) I = 1.261 =

\В(z)(z - 1) b (2% -0,H)(zi -D

1,26(0,05 + 0,6/)

- (0,1 + 1,2/ - 0,11)(1 - 0,05 - 0,6/) -= и + jv.

После простых преобразований находим:

и = -0,476; v = 0,3. Следовательно, для h[nTn] получаем:

h\nT i= 1 - e-s rn[cosl4,9/irn - -0,52 sin 14,9/гГп].

Необходимо подчеркнуть, что эта формула отображает функцию h[nT ] в дискретных точках ntn. Давая значения п= = 1, 2, 3..... получаем:

й[1]= 1 -e 5rn[cos И.ЭГп - - 0,52 sin 14,97\,] = ! - 0,606 (0,08 - - 0,52-0,99)= 1,264;

h [2] = 1 - е-107 {cos 29,8Тп -

- 0,52 sin 29,8ГП] = 1 -

-е-1 (cos 2,98 - 0,52 sin 2,98) = 1,4

и т. д., что совпадает с найденным ранее (рис. 21-90, а).

Пример. Найти импульсную переходную характеристику замкнутой системы, со-



стоящей из экстраполятора нулевого порядка и инерционного звена.

Импульсная передаточная функция замкнутой системы

Ф(г, е)=-

l+W(z)

(21-115)

0,8 0,6

-.--/

h[i]

Aft/

e г з # s

Рис 21-90. Импульсные переходные характеристики.

с -для примера 1; б - для примера 2.

где импульсная передаточная функция (см. пример 3 на стр. 107)

Г (г-1)е-аеТп1 W(2,e)~K\ 1-- (2М16>

Подставляя (21-116) в (21-115), находим: ,г(1-й-п) е-п+в-п

е-а7п + К[1-е-аГп]

(21-117)

Ф (г, е) = К

Единственный полюс передаточной функции

г = г1 = е-аГп К[1 е-п]

отличен от нуля. Следовательно, hfnTj е] = Ф[1,el-

При этом

иУст= Umh\nTn, е] = Ф[1, е] =

(l e-n)(K + 1) К+1

и от е не зависит.

Доведем пример до числового результата, задавшись определенными значениями Тш, Т и К.

Примем, что

у = аГп = 0,5; К = 2,5.

Тогда

2l = е-°-5 - 2,5(1 - е-0-5) = -0,38; A(zi,e) = K[z1{l-e-aBT )-e- rn + + е~агЦ = 2,5 (l ,38 е-°.5е - о,9в);

flW-l:*[l.-]-g-0.7I;

ftfn, е]=0,71+(1,78-2,5е-°-58)(-0,38f.

Переходный процесс имеет вид затухающих колебаний (рис. 21-90,6, кривая /). Не представляет труда, задаваясь величиной Тш построить эту кривую в натуральном масштабе времени как функцию (п+ .+е)Тп.

Найдем для данного примера условия, при которых процесс установления имеет конечную длительность.

Для этого представим передаточную функцию как отношение полиномов, расположенных цо убывающим степеням z:

Ф(г, е) =

К (1 е-°ЕГп)+г-1К [ g-°Ve-n] 1+г-1[ е-п + К(, -Гп)]

Тогда условие конечной длительности процесса будет состоять в выполнении равенства (см. стр. 111)

-е-аТ + к[1-е-аТ )=0,

откуда для К находим:

е аГп 0,6

При этом процесс длится ровно один период Тп. Так как в этом случае Ф(г, е) легко представить в виде разложения по убывающим степеням z (это разложение содержит всего два члена)

Ф(2, е) = cio + alz-,

l -S.T л



то, сопоставляя это разложение с формулой (21 110), приходим к выводу, что

g[0, el = ао; g[l, е] = а,;

g[2, в] = 0; g[3, е] = 0 ...

Так как п[пТл, е] и g[nTn, е] связаны соотношением (21-74), то получаем:

h [0, е] = ар, ft [1, е] = g [0, е] + g [1, s] =

= а0 + аг = К [l - е аТ \ = ftycx = 0,6.

Установившееся значение hyCi легко также найти из равенства

К :#[l- -a7V=0,6.

йуст=Ф[1,Е] =

Соответствующая Импульсная переходная характеристика изображена на рис. 21-90,6, кривая 2.

Установившиеся режимы. Коэффициенты ошибки

Большой практический интерес представляют вынужденные режимы в импульсной системе, наступающие после затухания свободных движений в устойчивой системе под действием входного сигнала. Решетчатая функция вынужденной составляющей выражается формулой

Ув[пТп] = S g[(m+s)Tn) х[(п - т) Гп],

где g[(m+e)Tn] - дискретная весовая функция замкнутой системы, а х-входное воздействие.

По отношению к установившимся режимам импульсные системы, как и системы непрерывного регулирования, делятся на статические и астатические с астатизмом 1, 2, 3-го порядка и т. д.

Будем рассматривать установившиеся режимы в системе для моментов замыкания б-ключа (т. е. при г=пГп). Тогда 2-преобразование сигнала рассогласования:

f (2) = x (z) - y (г) = , *(г)- .

w 1 + W (г)

Установившееся значение ошибки находится по теореме о конечных значениях (см. стр. 96)

fyc? = Hm f (г) = lim- * (f (21-118) f-со г-i г 1 + W (г)

Для характеристики установившихся режимов на вход системы удобно подавать входные сигналы типа x(t)=atr, где г=0 для статической системы, г=1 для системы с астатизмом 1-го порядка, г=2 - для систем с астатизмом 2-го порядка и т. д.

Статическая система не содержит интегрирующих звеньев, т. е. передаточная функция W(z) не имеет полюса в точке z=l. При подаче на вход сигнала x{t) = 8*

= 1(г)Л (Л постоянно), имеющего 2-преобразование

X(z) = Z{x\nTn\}= - A, z - 1

для установившейся ошибки в соответствии с формулой (21-118), получаем:

z-l г , fycr = lim / (0 = lim--- А X

.2 2 - 1 А

1 + W (г) 1 + W (1)

(21-119)

Поскольку функция W(z) при 2 = 1 не имеет полюса, lim W(z)=K, где К - конечная z- l

величина и

fycT = -nt> (21-12°)

т. е. действует такое же положение, как в системах непрерывного регулирования: статическая ошибка системы составляет (1+Я)-ю долю входного воздействия.

Система с астатизмом первого порядка содержит одно интегрирующее звено, т. е. W(z) имеет однократный полюс в точке 2=1. Передаточная функция системы мо-

i(z)

жет быть представлена в виде W(z) =--

где знаменатель выражения Wt (г) не содержит в качестве сомножителя члена (г-1), и lim Wi(г) = Wi(l)=Kv - конечная величи-z-1

на. При входном сигнале типа А1 (г) ошибка установившегося режима

,. z-1 г А fycr = m--Г- . . = 0

z-1 2

1 l , Wl(2) 2-1

При линейно нарастающем входном сигнале х (г) =vot (vo=const) установившаяся ошибка

уст

.. ЩТП 2(2-1)

: hm-:

г-i (г-l?W(z)

v0Tn v0

(21-121)

есть величина постоянная (Рп = \1Тл- частота прерывания). Как и в системе непрерывного регулирования, в системе устанавливается скоростная ошибка, обратно про порциональная коэффициенту передачи по скорости

Kv lim Wt (z) = lim (г - 1) W (г). (21 122) z-l z-1

Система с астатизмом второго порядка

имеет два интегрирующих звена, и при наличии б-ключа передаточная функция разомкнутой системы W(z) имеет в точке 2=1 двукратный полюс, т. е.

W (г) = ,

W (2- I)3




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 [ 36 ] 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270

Яндекс.Метрика
© 2010 KinteRun.ru автоматическая электрика
Копирование материалов разрешено при наличии активной ссылки.