Разделы


Рекомендуем
Автоматическая электрика  Автоматика радиоустройств 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 [ 32 ] 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270

Импутьсная переходная (весовая) функция инерционного звена

g(t) = Kae~at.

Соответствующая решетчатая функция

glnTn] = Kaf-anT . В соответствии с примером на стр. 93

z{elnTn]} = w& =

К Т

г - е Т

Тот же результат можно получить и из таблицы для г-преобразований. Из таблицы видно, что сигналу, имеющему изображение

-j-- соответствует г-преобразование

-аТ

, отсюда вновь следует наиден-

г - е

ное путем вычислений z-преобразование.

Для нахождения модифицированного г-преобразования запишем импульсную пе-, редаточную функцию для аргумента (п+е)Гп:

gKn + e)Tn}=Kae-a{n+E)\

Отсюда

B?(z,e)= Е Kae-aik+e)T z-k =

fe=0

aSTu+ e-°<1+E>7Yr г-1 +

-aET

Kae nX

X [l + e~aT г 1 + е- z-4 ] ==

-aET,

-aTn -1

- e z

Й7 (г, e) = /Са-

Пример 2. Найти импульсную передаточную функцию интегрирующего звена (рис. 21-29) W(p)=K/p. Импульсная переходная характеристика интегрирующего звена при К=1:

g(t) = \ и ё[пТв] = ЦпТп].

Соответственно

(z) .= Z {g [пТп]} = z~ = -у.

Тот же результат получаем, пользуясь таблицами г-преобразованин.

Изображению 1/р [ему отвечает функция времени f(t)=t] соответствует г-преобразование г/г-1.

Таким образом, W (г) = К

г- 1

Пример 3. Соединение инерционного и интегрирующего звеньев

w (р) = р(гр+1) = Wl (р) Wi (р)

W1(p)=-;- VF,0,) = L == 5 : р Гр + 1 р -f а

- 1

По табл 21 9

А

Следовательно,

f-M=

lp(P + a) /

z(l-e-°rn)

tF(z)=iC-

(z-l)

(z-l)(z-<Ta

Учитывая, что

z [U7i (р)} = к z{v.(p)} = -

г-1 z

-аГ

вновь приходим к заключению, что

Z {Wx (р) Wt (р)} Ф Z {Wt (р)} Z {W2 (р)} = Кг2

(г-1) (г

-аТ,

Пример 4. Соединение инерционного и интегрирующего звеньев с запаздывающим звеном (рис. 21-79,6).

Передаточная функция запаздывающего звена

W3(p) = е

где Уз = < 1 - относительное время

запаздывания.

Передаточная функция соединения инерционного и интегрирующего звеньев

- К а

W(p) =~ , . =к-

р (Тр + 1)

р (р + а)

имеет модифицированное г-преобразование (см. табл. 21-9):



ZE {W(p)} = W(z,e)-.

= Kz

г - 1

~asTn 1

Согласно указанному свойству (стр. 100) для получения импульсной передаточной функции с запаздыванием необходимо в последней формуле заменить е на 1-ys и умножить W(z,s) на г-1. Таким образом,

w- -K[~--

Г -+ 1)11

L (г-,)(г е-п) j-

Для вычисления импульсных передаточных функций пользуются также следующей формулой (см. [Л. 16, стр. 179]):

W(p) 1

W (z) = Res

Г Щр) j

Здесь означает все полюсы в левой полу- .. плоскости передаточной функции W(p), а . £ Res - сумму вычетов относительно всех k

полюсов функции, заключенной в квадратные скобки. Если W(p) содержит только простые полюсы, то последнее выражение упрощается и принимает вид:

w& = X-1 р Г Res (Pk),

где сумма вычетов распространяется на полюсы W(p).

Напомним, что для полюса первого порядка

4W(p)=,~)W(p)dp =

= lim(p - pk) W{p).

P-*pk

Для полюса n-го порядка

1 d -1

ReslF(p) =--- lim-- X

Pfe (n-1)! p-*Pk dp -1

Xl(p-pk)nW(p)].

Если, наконец, W(p) есть дробно-рациональная функция с порядком числителя не превышающим порядка знаменателя

М(р)

W(p) =

N(p) 1 М(Рк) I

(Pk) i 2-l g-Pfe7-П

Практически для получения Щг) обычно прибегают к разложению й(р) на сумму элементарных дробей, а затем берут 2-пре-образование от каждого из слагаемых.

Тогда при всех простых полюсах

М(рк) 1

fe=l

(Pk) P - Pk

При нулевом полюсе кратности / М(р)

(Р) =

plN(p)

Р Р2 +

Pk .

1 M(p)

dpl-

-1 7V(p)

2 M(p)

dpl~

-2 7V(p)

M(0)

M(pfc)

N(0)

(pfe)Pft

(21-78)

Составляющим типа

соответству-

P -Pfe

ет модифицированное г-преобразование:

IP - Pfej

г - е

Составляющим Cilpi соответствуют следующие преобразования (см. табл. 21-9);

-С2Г4(г 1)2 + г-1 J

2г (е + 1) (г-1)2

Здесь имеется полное совпадение с тем, как находятся z-преобразования для решетчатых функций, являющихся соотношением двух полиномов (см. стр. 98).

-Пример. Найдем указанным способом еще раз импульсную передающую функцию W{z) для инерционного звена W(p) -

К а = ---- = К-;--, где а=1/Т, исполь-

Тр + 1 р + а

зуя формулу (21-78).



Так как Щр) имеет один полюс рь-=-а, то

Res W (р) = lim (р + a) W (р) =Ка -а р-*-а

W(Z):

К г

z - е т

что Совпадает с найденным ранее другим способом.

Импульсные частотные характеристики

Если в импульсной передаточной функции W(z, е) заменить z на еушТп, то получается комплексная импульсная (или частотная импульсная) передаточная функция:

W (г, е)г=е/соГп= X? ( /°Ч е) =

= Ы{еп,е)\е!аТ-Е\

Она характеризует прохождение синусоидальной решетчатой функции

ЦпТп] = Am sin [исоГп + срвх] =

образованной из исходной синусоидальной функции Ат sm(cor+9Bx), через фильтр W(j<£>). На выходе фильтра с импульсной передаточной функцией будет иметь место также синусоидальная решетчатая функция

У[пТп] = Bm sin [исоТп + фБЫХ] =

= Im е п е вых

(Im - обозначение мнимой части комплексного числа), причем отношение амплитуд

Ат [п, в]

равно модулю передаточной функции, а разность фаз

фвых- фвх = ф(соТп, е) равна фазовому сдвигу.

Следует иметь в виду, что решетчатые синусоидальные функции будут периодическими, если отношение периодов частоты со (т. е. т=2я/со) и Тп является отношением натуральных чисел тип:

ТП со m

Комплексная импульсная передаточная функция является периодической функцией с периодом Та, поскольку

Импульсной амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ) называют изображение им-

пульсной частотной характеристики на плоскости и, jv, где

и (со, е) = Re W [ еаТ , е);

d(co, е) = 1ти7 ( еаТп , е).

Для каждого фиксированного значения е может быть построена своя импульсная АФХ

Часто бывает удобно строить амплитудно-фазовые характеристики для нормированной частоты со=со7 п Последние находятся из импульсной передаточной функции, записанной для нормированного аргумента z-е , где д=рТв.

Периодом нормированной передаточной функции является величина 2я, поскольку

W (еЛе) = В7 [е< +2я> ,е] .

Для построения импульсных амплитудно-фазовых характеристик по амплитудно-фазовым характеристикам W(j<i>) удобно пользоваться формулами

V=-со со

W ( е5,е) = Ц e/<°+2*v>e х

Xtn/(co+ 2nv)].

При построениии характеристик обычно можно ограничиться двумя слагаемыми, соответствующими v=0 и v=-1, т.е. принять, что

W { е%,е) и e/Se W (/ ) +

+е/(с°-2я)Еи7[/( -2я)], (21-79)

Заметим, что точно так же построение можно выполнить, не переходя к нормированной частоте. Периодом передаточной функции в этом случае является величина

Пример 1. Построить амплитудно-фазовую характеристику инерционного звена

К Ка

W (р) =-= ---.

w Гр+1 р + а

Из таблиц имеем:

I Ка 1

г- е

-аТ

Для нормированной передаточной функции запишем:

W(e*,e)=Ka f-a<Tm.




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 [ 32 ] 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270

Яндекс.Метрика
© 2010 KinteRun.ru автоматическая электрика
Копирование материалов разрешено при наличии активной ссылки.