Итак, имеются две формы записи передаточных функций: для мгновенных значений (символическая форма) и для преобразованных по Лапласу значений (операторная форма).

В дальнейшем на рисунках передаточная функция звена записывается в операторной форме (рис. 21-7,в), хотя входные и выходные сигналы записываются как функции времени; Щр) при этом обозначает лишь динамические свойства звена. Известная условность принятых обозначений сделана исключительно с целью удобства изложения материала.

Установившееся значение выходного сигнала для передаточной функции в операторной форме, т. е. значение выходной величины после окончания переходных процессов, находится по формуле (см. т. 1, стр. 45)

ууст = lira у (0 = lim pW (р) X (р).

Установившееся значение при постоянном входном сигнале х=Хо находится по более простой формуле

ууст = lim W (р) х0.

которая получается из предыдущей при учете, что L{x0}=Xo/p, где L - преобразование Лапласа.

Если передаточная функция задана в символической форме, установившееся значение выходного сигнала при подаче на вход постоянной величины х=х0 определяется равенством

gycT=limW (D) х .

D-+0

Здесь условие D - 0 соответствует приравниванию нулю производных выходного сигнала в уравнении, описывающем процессы в звене.

Передаточная функция электрической цепи в символической или (при отсутствии начальных запасов энергии) в операторной форме может быть получена без составления дифференциального уравнения. Для этого необходимо заменить участки цепи, содержащие резисторы R, конденсаторы С и индуктивности L, сопротивлением R и символическими сопротивлениями Хс = = l/CD (или 1/рС) и LD (или pL) и составить соответствующие уравнения Кирхгофа.

Пример. Последовательный контур LCR н усилитель с коэффициентом передачи К (с большим входным и малым выходным сопротивлениями) (рис. 21-8). В усилителе выполняются условия однонаправленности и независимости.

Составим дифференциальное уравнение цепи. Так как

du di dzu

i~C- и - =C-

di dt dt*

Подставляя эти значения в уравнение di

L - + Ri + u = uBX, dt

где ывх - напряжение на входе, и учитывая, что

получаем дифференциальное уравнение цепи

LC-~ + RC

-f- ивых :

(21-5)

Рис. 21-8. Колебательный контур с усилителем К как динамическое звено.

а - схема (указаны символические н операторные сопротивления); б - изображение контура как динамического звена.

Для нахождения передаточной функции в символической форме заменим djdisD:

LCD2UBHx + RCDUva* -f- Ывых = /Сы х.

Рассматривай далее D как обычный множитель и выполняя очевидные алгебраические преобразования, получаем:

(LCD2 + RCD + 1)ивых = Киъ%.

Отсюда находим передаточную функцию в символической форме:

W (D) =

ивх LCD* + RCD + 1

(21-6)

Для получения передаточной функции в операторной форме подвергнем уравнение цепи (21-5) преобразованию Лапласа при нулевых начальных условиях (см. т. 1, стр. 43):

LCpWBaI (p) + RCpUip) + +£/ВЬ1Х(р) = KUW). Здесь £Д,х(р) и £7ВЫ1(р)-изображения по Лапласу входной и выходной величины:

£/ВЫж(Р) = Ивых (0 e~ptdt; о

Выполняя простые алгебраические преобразования, получаем:

(£Ср2 + RCp + 1)£/ ых(р) = KUBT(p) и передаточная функция W(p) в форме

Лапласа будет иметь вид:

Чр) =

Е/вых (Р)

Vm (р) К

LCp2 + RCp + 1

(21-7)

Последняя формула получается заменой в записи W(D) символа D на р.

Вместо непосредственного использования дифференциальных уравнений те же передаточные функции можно получить путем использования символических сопротивлений. Считая символические сопротивления для индуктивности и конденсатора равными соответственно LD. и 1/CD, запишем уравнение Кирхгофа для цепи R, L, С (рис. 21-8):

iR + LDi + i = ывх,

но, так как u=i/CD или i=CDu, то

RCDu + LCD*u + и = кВ1. Учитывая, что Ывых=Яы, запишем:

(LCD* + RCD + 1)ыВых = Киъх.

Такое же равенство может быть записано в операторной форме для изображений выхода (7ВЫх(р) и входа UB%(p)

(LCp* + RCp + 1)£/вых(р) = /Wbx(P)

путем введения операторных сопротивлений 1/рС, pL, R и составления уравнения Кирхгофа

Из последнего равенства сразу записывается передаточная функция W(p), которая совпадает с выражением (21-7), найденным преобразованием дифференциального уравнения. Заменой р на D получаем передаточную функцию W(D) в символической форме.

Иногда аргумент D или р в обозначении передаточной функции опускается и передаточная функция обозначается символом W.

Комплексный коэффициент передачи

Если на вход линейной системы поступает синусоидальный сигнал определенной частоты, то выходной сигнал будет также синусоидальным, иметь ту же частоту, но другие амплитуду и фазу. Представляя выходной и входной сигналы комплексными амплитудами UBT(jo>) и с7ВЫхОш), изменения амплитуды и фазы можно характеризовать комплексным коэффициентом передачи (см т. 1, стр. 182).

Г(/Ш) = (М.

Комплексный коэффициент передачи можно рассматривать как одну из форм записи передаточных функций для случая синусоидального входного воздействия.

Для получения Щ/со) из передаточной функции достаточно в W(D) или в Щр)-заменить D (или р) на ;со, т. е.

W (/о) = W (D)\D=j(0 = W (р)р=/ш .

При этом для обозначения комплексного коэффициента передачи вместо W(j<d) часто вводится использованное в предыдущих главах справочника обозначение Hi!®)- Ясно, что Я(/о) 5 H?(j(0).

Рис. 21-9. Амплитудно-частотная и фазо-частотиая 4>(ш) характеристики динамического звена.

Комплексный коэффициент передачи, (как всякое комплексное число) может быть записан в показательной форме (см. т 1, стр 30), а также в виде суммы вещественной и мнимой части (см. т. 1, стр. 28).

/Г(/ю) = /Г(со)еЧи<)>; (21-8)-

KUw) = (о) + /о (со). (21-9)

Зависимости К(<£>), ф(ш), ы(со) и я(со) имеют отдельные наименования: К (со) - модуль комплексного коэффициента передачи - называется амплитудно-частотной характеристикой; ф(со) - аргумент комплексного коэффициента передачи называется фазо-частотнон характеристикой;

и (co)=Re [К (/ш)]-вещественная] частотные

\ характе-

v (co)=Im [К (/*>)]-мнимая J ристики.

Амплитудно-частотная и фазо-частот-ная характеристики. Амплитудно-частотная характеристика /С(со) выражает зависимость отношения амплитуд выходной и входной синусоидальных величин от частоты (рис. 21-9, а)

Фазо-частотная характеристика <р(со) выражает зависимость фазового сдвига вы ходной синусоидальной величины по отношению ко входной от частоты (рис. 21-9,6). Опережение фазы соответствует ф(со)>0,. а отставание-ф(со)<0.

Заметим, что здесь фазовый угол ф(ш> взят со знаком плюс, в то время как в радиотехнике обычно принято перед обозначением фазы писать знак минус, т. е. записывать /С(/ш)=К(ш)е-/ф(ш).

Если передаточная функция W(p) не имеет нулей и полюсов в правой полуплоскости, между амплитудно-частотной и фа-зо-частотной характеристиками имеется однозначное соответствие, выражаемое определенным интегральным соотношением. Цепи, для которых указанное условие выполняется, называются минимально-фазовыми цепями.

Большинство используемых в автоматике звеньев являются минимально-фазовыми.

Рис. 21-10. Амплитудно-фазовая характеристика. На характеристике обозначены частоты (01<rai<co3; лля частоты <92 нанесен вектор K(Jg>s) соответст-веиио модуль /Ша>г)[=ЖйЫ и фаза Ф(<0г)1.

Амплитудно-фазовая характеристика есть геометрическое место конца вектора К(/со) на комплексной плоскости и, /о.

Характеристика строится в соответствии с формулами (21-8) и (21-9). Задается последовательность значений со, для каждого значения <в=соь (где k=\, 2, 3, п) определяются K(a>h) и ф(сод) по формуле (21-8) или ы(сол) и t)(coft) по формуле (21-9) и на плоскости и, v строится вектор K(j(£>h) в первом случае или точка на плоскости и, v - во втором. Соединив концы векторов или последовательность точек непрерывной кривой для различных частот со получим изображение амплитудно-фазовой характеристики [годограф вектора /((/со)].

Длина вектора есть величина /С (/со) = =/(( ), а угол ф(ш) характеризует фазовый сдвиг; при этом положительное направление угла отсчитывается против часовой стрелки.

Основные характеристики связаны следующими соотношениями:

К (со) = У и* (со) + v* (со);

(w)

<p(co) = arctg-7-7;

и (со)

и (to) = К (со) cos ф (со); о (со) = К (со) sin ф (со).

(21-Ю)

Для получения комплексного коэффициента передачи К (/со) электрической цепн записывают уравнения Кирхгофа (полагая сопротивление индуктивности равным

= /coL и конденсатора равным -Хс =

= 1 соС) и определяют отношение комплексных амплитуд выходного и входного сигналов.

Пример. Последовательный контур LCR (продолжение предыдущего примера) (рис. 21-8). При подаче на вход синусоидального сигнала с комплексной амплитудой 0ВХ выходной сигнал будет также синусоидальным с комплексной амплитудой UBI. По закону Кирхгофа при бесконечно большом входном сопротивлении усилителя с коэффициентом передачи К можно записать:

1/вых = /

ХСК; I=0BX/Z;

Z = ~Xc+iXL + R; Хс= 1

XL = coL.

Следовательно,

£7.

/соС

= ик

R + j(£>L + К

/соС

(/to)2 LC+ jaRC + l

Свых

К (/со) =

(/со)2 LC + /соЯС + 1

(21-11)

Это выражение легко может быть приведено сначала к форме (21-9) путем освобождения от мнимости в знаменателе, а затем и к форме (21-8) с помощью основных соотношений (21-10).

Для упрощения исследования автоматических систем и различных электрических цепей широко используется разновидность частотных характеристик - частотные л о -гарифмические амплитудные и фазовые характеристики.

Логарифмические амплитудная и фазовая характеристики. Логарифмическая амплитудная характеристика (ЛАХ) - это амплитудно-частотная характеристика, построенная в логарифмическом масштабе. По оси абсцисс откладывается логарифм частоты (или частота на логарифмической сетке); по оси ординат-отношение амплитуд К(ы) в децибелах, т. е. величина

L(co) = 201gtf(co) = 201gK(/co).

Логарифмическая фазовая характеристика (ЛФХ) - фазо-частотная характеристика, в которой частоты откладываются в логарифмическом масштабе (или на логарифмической координатной сетке), а фаза имеет обычный (линейный) масштаб.