Продолжение

g (О

IT (P)

p(P+a)

W (г,е>

(- 1)* 6* Г е~ОЕГ° ]

г ze п

г - 1 -аГ

2 1 г-е п

W(z)

(- l)fe dk I г \

(г - l)(z - е аГп)

1 - е

Р2(р + а)

еТп - - -авт

zT a ze

(г ,). г 1 ,с(г е-п)

Гпг г(1-ГаГ )

а(г-1)(г-е-°Гп)

sin со0 <

г2 sin е0 со0 Гп + г sin (1 - е) со0 Гп г2 - 2г cos ю0 Тп + 1

г sin to0 Тп

гг-2z cos со0 ГггМ

cos co0f

р2+со2

г2 cos есо0 Тп - г cos (1 - е) со0 Тл г2 - 2г cos со0 Т + 1

г (z - cos со0 Гп) г2 -2zcosco0Tn+l

Ь -at

1+--е-

а - Ь

а - Ь

-аеГ

-ЬЕТ

Р(Р + а) (Р + Ь)

1 (a-b){z- Г7 ) (а - Ь) {z - <ГЬГп)

z ~ 1 (а 6) (2 - ГаГп) (а-Ъ) [г-<ГЬГ )

Этот случай соответствует примеру 1 при А - \.

Вычислим z-преобразовакие функции f(t, 0-)

Z{f{t,0-)) =1/[пГп]2-1=

= /(0)г > + /[1]г-1 + /[2]2-2+--.= 0 +

+2-1+2-2+.-.=

г -1

Найдем далее модифицированное -преобразование для е>0:

Ze if (*)} = F (z.e) = Е f [(n+e) Тп\г~ =

Далее вновь легко убедиться в справедливости формул (21-65) и (21-66). Например, если f(t) определить так:

то-)=(е-а

10, *<0,

т. е. при t-О приписать функции значение, равное нулю, то для z-преобразоваиин f(t, 0-) находим:

Z[fV, 0-)} = Е/[п7п]г-п = = 02°+ е~аТп г-1 + e-2a7n г-2 +

+ <Г3а7пг-3 +

1+2-1 + 2-2+-..=

Теперь легко убедиться в справедливости, соотношений (21-65) и (21-66). Действительно, согласно (21-65)

В то же время по формуле (21-66) получаем:

2-1

что совпадает с найденным непосредственным вычислением. Согласно (21-66)

2E{/(<,0-)}=r1F(2,I) =

, г 1

2-1 2-1

что также совпадает с наиденным непосредственным вычислением.

Пример 3. Найти z-преобразование ре--апТ

шетчатой функции f[nTn]=e образо-

ванной из экспоненты f{t)=e~ :

°°

-апТ -п -1 -аТ

F(2)= Ее г =1+г е п +

+г-2 е-2аГп+.,.=

2-е п

; \г\>еа

Пример 4. Найти модифицированное г-преобразование решетчатой функции -апТ

f[nT ]=e п. Поскольку нет специальных оговорок-, предполагается, что f(r)=0, г<0 и f(t) = l для t=0. Таким образом, для модифицированного 2-преобразования получаем:

F(2,e) = Z{/[(n + 8)Tn]} =

= i е-°< +е>гПг-п==

==е п £ е

п г,-и-

Z{/(Г, 0-=2- (2, 1) =

ге-°гп

е-°Гп

Оба результата совпадают.

Дискретное преобразование Лапласа имеет наглядную связь с обычным преобразованием Лапласа. Пусть задана функция f(t) (причем f(t)=0, t<0), которой соответствует решетчатая функция Д/гУп]. Образуем произведение f* (t) =f{l)bT{t) (см. стр. 85), где

6Г(0= Е б(<- тп)

- последовательность б-функций, расположенных в точках 0, 7 п, 2Ти ... (рис. 21-73,в).

Функцию f*(t) можно рассматривать как результат широтной модуляции сигналом -f(t) последовательности б-функций.

Тогда дискретное преобразование Лапласа решетчатой функции ЦпТа] является обычным преобразованием Лапласа функции f*(t). Действительно,

ЧР ) = Чнобг(о} =

= L{ Е f(t)8(t~nTn)} =

= Е L{/{QS{f nTn)} =

= Е f [пТП] е~Р тп =Z {f [nTn]) = F* (р).

г Отсюда также следует, что 2-преобразо-вание функции {[яГи] можно рассматривать

как обычное преобразование Лапласа функции f*(t) с заменой р величиной - lnz:

F(z) = L{r(t)}=F*(p)]p=JLlnz.

Обратное дискретное преобразование Лапласа и обратное z-преобразование. Обратное преобразование состоит в нахождении исходной решетчатой функции /[п7 п] (оригинала) по заданному изображению. Обычно на практике обратное z-преобразо-вание или дискретное преобразование Лапласа находитсн, например, из табл. 21-9.

В частном случае, когда 2-преобразова-ние удается представить в виде ряда (21-62) по степеням z, обратное преобразование записывается сразу, поскольку коэффициенты этого ряда и являются значениями исходной решетчатой функции в точках пТп, следовательно, обратное преобразование (оригинал) записывается как /[п7п].

Пример. Пусть

F(z) = 1 + z-ea + z-V° + ... ... 4- z~rena + ...

Исходная решетчатая функция является общим членом ряда и, следовательно, f[nTu\ -

- pan

В общем случае обратные преобразования могут быть найдены с помощью следующих формул:

а) Исходная решетчатая функция является суммой вычетов функции F(z)z -i относительно полюсов z&:

/[ftlSResfz -1/)]

б) Решетчатая функция выражается через дискретное преобразование Лапласа формулой

f[nT,

причем Г0 представляет собой окружность плоскости z такого радиуса, что внутри нее лежат все полосы функции F(z). Последними формулами в свнзи с наличием достаточно обширных таблиц приходится пользоваться сравнительно редко, главным образом при теоретических исследованиях.

Основные теоремы z-преобразоваиия

Теоремы сформулированы для г-прсоб-разования при е=0. Однако, если это не оговорено, они справедливы и для модифицированного z-преобразования при постоянной величине е. При этом все решетчатые функции записываются в виде f[(w-f-+е)7 п], а их z-преобразования F(z, е). Там, где необходимо, длн модифицированных z-преобразований делаются оговорки.

1. Теорема линейности m

Если /(*) = £ Ckfk(t), . то F(z) =

= Е CkFk(z), где Fh(z)-z-преобразова-fc=l

ние функций fklftTu], a Cft - постоянные величины.

Пример. Вычислить 2-преобразование функции f(t)=A cos wt. Представим f(t) в виде

е<ш + е

f(t) = A

и образуем решетчатую функцию

f[nTn]=A cosomTn=A

-;twun

где о=/( .

илГ

Так как для решетчатых функций е п

и е z-преобразования равны соответ-

ственно (см. пример на стр. 93);

аТ и -ат г-е п 2-е п

то -преобразование функции /[п7 д]: Z {f [nTa]) = Z {A cos псоГп} =

г - е г- е г2 - г cos соТп

-/югп]

22 -22COSCuTn+l

Аналогично для f(t)= A sin at найдем: г sin u>Tn

Z {A sin соТп} = А

22-22COSC0Tn+l

(21-67)

2. Теорема о смещении аргумента в области оригиналов (времени)

Если F(z) =Z{f[nTn]}, то при смещении аргумента функции f(t) ровно на г периодов в сторону запаздывания

Z{f[(n - г)Гп]} = z~F(z).

При этом предполагается, что f(t-т)з=0, г<т. Смещение независимой переменной в сторону запаздывания на г периодов соответствует умножению z-преобразования на z~r.

В случае смещения на г периодов в сторону опережения

Z {/ [(и + г) T J) zF(z)- Е /-v / (v).