tj - время безотказной работы между /-1-м и /-м отказами, взятое из таблиц вида 30-12 или 30-13.

Если постулируется экспоненциальный закон надежности, то вычисление дисперсии по формуле (30-153) отнимает много времени, проще построить теоретическую функцию распределения и проверить сходимость эмпирической и теоретической кривых.

На рис. 30-34 построена по формуле F(t) = l-ехр(-t/Tcp) теоретическая функция распределения (пунктирная кривая) времени работы между отказами (Тср = =90,5 ч). Предположим, что построенное эмпирическое распределение F*(t) является также экспоненциальным. Проведем проверку данной гипотезы с помощью удобного в применении критерия согласия, называемого критерием %2 Пирсона [Л. 6, 13, 53]. Удобство этого критерия объясняется тем, что для построения теоретического распределения приходится пользоваться опытными параметрами (например, Тср), а не соответствующими математическими ожиданиями, и другой критерий согласия, простой в применении, - критерий Колмогорова в этом случае дает завышенные оценки согласия [Л. 53].

При проверке согласованности теоретического и статистического распределений исходят из расхождения в t-м интервале между теоретическими (рг) н статистическими (pt ) вероятностями. Если выбрать в качестве меры расхождения величину k

(пц-Npi)*

(30-154)

где nit - число наблюдений в i-м временном интервале, k - число временных интервалов, то при больших N закон распределения для меры расхождения зависит только от числа интервалов k и при увеличении N приближается к хи-квадрат распределению (см. § 30-5).

На практике вместо формулы (30-154) пользуются приближенной

XtZ, (30-155)

в которой при расчете теоретических вероятностей найденные из опыта статистические параметры приравниваются соответствующим математическим ожиданиям (например, Тс*р = Тср).

Поскольку распределение %2 зависит от числа степеней свободы г распределения, . то данное условие уменьшает их на единицу. Кроме того, всегда налагается очевид-

ное условие £ р{ =1, уменьшающее число г г=1

на единицу. Если налагается условие на совпадение теоретической и статистической дисперсий, то это также ограничивает число степеней свободы.

Число г находится из равенства: г - k - s,

где s - число наложенных независимых связен (условий).

При проверке экспоненциального распределения s-2 (третье условие совпадает с первым).

Для распределения %2 составлены таблицы [Л. 6, 12, 13, 53], по которым для каждого значения %2 и числа г можно найти вероятность р того, что величина, распределенная по закону %2, превзойдет это значение (некоторые значения %2 приведены в табл. 30-16). Предположим, что случайная величина Т распределена по постулируемому закону F(t). Тогда вероятность р, найденная по таблице %г распределения, есть вероятность того, что за счет чисто случайных факторов мера расхождения (30-155) будет не меньше, чем полученное опытное значение %2. Если эта вероятность мала, то результаты наблюдений следует считать противоречащими предложенной гипотезе, значит, величина Т не распределена по закону F(t). Если же вероятность р велика, то можно признать расхождения между теоретическим и эмпирическим распределениями несущественными, чнсто случайными и принять гипотезу о том, что величина Т действительно распределена .по закону F(t).

Для проверки согласованности функций F(t) и F*(t), приведенных на рис. 30-34, составим статистический ряд:

При нахождении значений теоретических вероятностей Рг в каждом из интервалов в данном, случае применялась формула:

t. *f * *

Pt = J f (0 dt = e-W7 -e~tilT*v ,

me f(t)

-t/т

CP - плотность экспо-

ненциального распределения [см. формулу (30-44)]; ti - правая граница i-ro интервала.

Например, в первом интервале Рг =

= е-0/90,5 е-25/90,5 = , 074 = QM

По формуле (30-155) находим: (25 - 30)2 (20 - 22,1)а 30 + 22,1

(23 -17,5)а (17-13,7)2 (12 - 10)2

17,5 + 13,7 10

(10 -7,5)2 (6 -о)2 , (6 - 5)а т

7,5 55 (4 -3,7)2 (2 -2,5)а

= 5,21.

Число степеней свободы r=k-s=10-2=8. По величинам %2 и г определяем из таблицы X2 распределения величину р 0,73. Эта вероятность достаточно большая для того, чтобы считать правдоподобной гипотезу о распределении случайной величины Т, представленной данными табл. 30-12, по экспоненциальному закону.

Это уравнение показывает, что неизвестное значение параметра То с вероятностью у заключено в доверительном интервале [Т%~г; Т*+е] (рис. 30-35).

Случай нормального распределения. Если время безотказной работы аппаратуры распределено по нормальному закону, то доверительный интервал для оценки средней наработки до отказа находится по формуле

K~zv

(30-157)

где n-наблюденное число-опытов (отка зов);

Of - среднеквадратическое отклонение времени безотказной работы; - квантиль нормального распределения, соответствующий вероятности Y и определяемый по формуле

V~2n

dx (см. табл. 30-14)-

Двбе/ште/юный ихжрбал

Рнс. 30-35. Графическое представление доверительного интервала.

Пример. При лабораторных испытаниях 16 однотипных усилителей высокой частоты на устойчивость к постепенным отказам, которые фиксировались при выходе коэффициента усиления за пределы допусков (по ТУ), получены следующие значения времени безотказной работы:

Оценка доверительных интервалов для показателей надежности. При ограниченном числе наблюдений рассчитываемые значения показателей надежности содержат элемент случайности, т. е. являются лучшей или худшей оценкой истинного значения определяемого показателя (математического ожидания). Поэтому прн обработке опытных данных необходимо не только найти статистические значения показателей, но и определить величину возможной ошибки при замене неизвестного значения показателя его опытной оценкой. Для характеристики точности этой оценки пользуются понятием доверительной вероятности, представляющей собой вероятность того, что истинное значение показателя лежит в данном интервале, который называется доверительным.

Например, если оценивается средняя наработка до отказа Тв с помощью опытного значения Т0 ,то двусторонний доверительный интервал находится из уравнения

Р{Т0-в<Г0<Т* + 8}=т, (30-156)

доверительная вероятность; - некоторое число.

Найдем оценку для средней наработки до отказа (по постепенным отказам) при доверительной вероятности y=90%.

Предварительно найдем:

-r° = TsE = 2000 ч;

341 ч.

Таблица 30-14

Некоторые квантили нормального распределения

Из табл. 30-14 находим, что при у=0,9 величина Zy = 1,64. В соответствии с форму лой (30-157) получаем:

2 000 - 1,64-- = 1 879 ч < Т0 < 2 000 + 116 -

+ 1,64

2121 ч.

Следует ожидать, что в среднем в 90 из 100 случаев средняя наработка до отказа усилителей будет находиться в интервале 1879-2 121 ч.

Поскольку в формулу (30-157) вместо неизвестного значения ot подставляется ста-тистическое Gt, то при число-опытов меньше 30 и большой дисперсии можно получить результат с ощутимой ошибкой. Более точный доверительный интервал в этом случае находится по формуле.

T*0-ty-L<T0<;Tl+t~, (30-158) У я Уп

где fy--квантиль распределения Стыоден-та, определяемый по данной вероятности у и числу степеней свободы k-n-1 (см. табл. 30-15).

Таблица 30-15

Некоторые квантили распределения Стьюдента

В формуле (30-158) в отличие от (30-157) вместо неизвестной при обработке опытных данных величины Of подставля-ется известное значение о.

Сравнение табл. 30-14 и 30-15 показывает, что при числе наблюдений больше 30 можно пользоваться при определении опытных данных формулой (30-157), не рискуя допустить существенную ошибку. Так, если при значениях &=15 и y=0,9 величина г7 =1,75, то при ft=40 и y=0,9 fv=l,68, а величина 2 = 1,64 (zy , очевидно, не зависит от числа опытов).

В случае последнего примера при у~ =0,9 и к=п-1 = 15 величина 1 = 1,75 ь доверительный интервал составляет: 1851 4s£T0s£2149 ч.

Доверительный интервал для неизвестного значения дисперсии (of) времени безотказной работы определяется по формуле

где п

--<о?<-

Ха( = - D X a(r = n-1)

2 * 2

(30-159 .

число наблюдений; а [ а \ (г)- величина, определяемая

по таблице %2 распределения при числе степеней свободы г=п-1 и вероятности р, приравниваемой соответственно величинам а/2 или 1-а/2 (а=1-у - так называемый уровень значимости, оценивающий значимость допускаемой ошибки).

В табл. 30-16 приведены для примера

некоторые значения %р(г)-

Таблица 30-16 Некоторые значения % (г)

Число

Вероятность р

Для условий рассмотренного примера найдем доверительный интервал значений of, согласующихся с опытными данными.