рому старению элементов, т. е. к расходованию ресурса. Поэтому во многих случаях даже при электрически ненагруженном резерве целесообразно оценивать надежность резервированной аппаратуры по формулам облегченного резерва.

Случай общего резервирования (резерв облегченный, основная и резервная цепи равноиадежны, переключатели отсутствуют нли абсолютно надежны). Математическое обоснование этого случая наиболее сложно. Обычно окончательные соотношения находят путем последовательного определения частных решений для кратности резервирования т=2 и га=3.

Рассмотрим работу двух параллельных цепей (дублирование) А к Б при условии, что до момента отказа основной цепн А резервная цепь Б находится в облегченном резерве, т. е. интенсивность отказов ХА > Я£ (до момента включения в работу цепи Б). Конечно, цепь Б может отказать, находясь в резервном состоянии, но вероятность этого события по сравнению с вероятностью отказа цепи А меньше. Полагаем, что время безотказной работы обеих цепей распределено по экспоненциальному закону. Найдем вероятность безотказной работы данной системы за время f, возможные состояния которой нетрудно пересчитать: #о-цепи А к Б в интервале времени

(0, t) работают безотказно; Hi - цепь А отказывает в произвольный момент времени x<t, а цепь Б, работающая безотказно в интервале (0, t), включается в момент т под полную нагрузку; Яа - цепь А в интервале (0, t) работает безотказно, а цепь Б в момент x<t отказывает; Н3-цепь А отказывает в момент т<г, а

цепь Б отказывает еще раньше; Ht - цепь А отказывает в момент т<(, а цепь Б отказывает в произвольный момент т !<-(. Поскольку рассматриваемый случай является частным, а применяемый математический аппарат используется при решении многих задач теории надежности, проиллюстрируем здесь его применение. Гипотезы Но, Hi и #2 являются благоприятными; они и определяют вероятность безотказной работы дублированной системы за время t:

Рдубл(0 = Р(Но) + Р(Я,) + р(Я2). (30-96)

Вероятность р(Но) для условий данной задачи определяется из очевидных соображений:

Р (Я0) = Ра (0 Рб(0= е~( Ч+ Яб) (30-97)

где Ра{Ц и Рб(0 - вероятность безотказной работы цепей А и Б за время t соответственно.

Если цепи Л и £ равноиадежны, то АБ =

где ks - коэффициент расходования ресурса (при ненагруженном режиме fep=0, при нагруженном кр=1, при облегченном 0<fep< <1).

Вероятности других гипотез находятся с помощью формулы полной вероятности (см. т. 1, § 1-17). Для определения вероятности p(#i) рассмотрим промежуток времени (т, x+dx), в котором вероятность отказа цепи А равна:

Га (т)йт,

где f А (т) - плотность распределения времени безотказной работы цепн А. Вероятность события, заключающегося в том, что система проработает безотказно в течение времени t, если в момент т.произошел отказ цепн А, составляет:

fh(t)dxpb(t - т/т), (30-98)

где рБ (t-т/т) - условная вероятность того, что пепь Б проработает безотказно в течение времени (г-%), если она не отказала за время т. Но отказ цепи А может произойти в любой момент в промежутке времени (0, г). Поэтому вероятность р(Н\) находится суммированием (30-98) по всем элементарным промежуткам (по формуле полной вероятности) :

Р (Яг)= .f М Рб V - dr. (30-99) о

Для простейшего потока отказов (без последействия)

Рб ( - *М = Рв <т) Ръ V - %У -Л.Б(г-т)

-Я т

=.е е

(30-100)

где ХБ - интенсивность отказов цепи Б в полном рабочем режиме. Таким образом, для вероятности р(Н{) получаем расчетную формулу:

ХА е

-Я т - Яст

-Як (1-х)

а + б~б

(30-101)

С помощью аналогичных рассуждений найдем:

р(Я2) = J /Б (т) рА (t - т/т) dx =

-яБт -v dx= -V

(30-1С2)

Формула (30-96) окончательно имеет

вид:

Рдубл(<)=

Яд + ЯЕ

==e-(*A+Xfi) < + (в- -Л Ха+Хб) ) +

-v d rv).

(30-103)

Интегрируя правую часть уравнения (30-103) в пределах (0, оо), получаем среднюю наработку до отказа дублированной системы:

1 А-а

Годубл - ~ Г . , , ч +

Ад + ЯБ ЯБ (ЯА + ЯБ) Як

4 (ла + б)

(30-104)

Формулы (30-103) и (30-104) являются общими, позволяющими для наиболее распространенного случая резервирования - дублирования (га=1)- определить вероятность безотказной работы и среднюю наработку до отказасистемы при любом спосо бе включения резерва. Для ненагруженного резерва ЯБ =0 и при равнонадежных цепях

Яд =ЯБ=Яо=1/Т0; для нагруженного резерва и при равнонадежных цепях ЯА= ЯБ=

=ЯБ =Яо = 1/То.

С целью получить расчетные формулы для га-кратного резервирования по изложен

НОЙ МеТОДИКе НаХОДЯТ Рззез(Г) И Торез для

случая т = 2, после чего становится ясным рекуррентный характер соотношений. В результате для случая m-кратиого резервирования равнонадежных цепей можно найти:

Ррез <0=е-

X(l- е~у], (30-105)

где Яо-и Ki - интенсивность отказов цепей в рабочем и облегченном режимах соответственно; 1-1

-П(+£)-

Интегрируя (30-105), можно получить формулу для нахождения средней наработки до отказа резервированной системы с облегченным резервом:.

Торез -

(30-106)

Я0 -aJ 1 + ikp

где kv=Ki/Ko - коэффициент расходования ресурса.

Пример. Требуется найти среднюю наработку до отказа резервированной системы с облегченным резервом при га=2, средней наработке до отказа основной цепи То= = 1До=100 ч и величине £р=0,25. Сравнить полученное значение с соответствующими значениями Торез, полученными для случаев нагруженного и ненагруженного резервов.

Решение. По формуле (30-106) определяем для облегченного резерва

Г0РЛез=100(1 +

1 + 1-0,25

-- J = 246 ч.

0,25/

По формуле (30-93) найдем среднюю наработку до отказа резервированной системы с нагруженным резервом:

72 = 100 (l4

Этот же результат можно получить по формуле (30-106), положив йР = 1. По формуле (30-95). находим среднюю наработку до отказа при ненагруженном резерве:

Г0резГР = (2 + 1) ЮО = 300 ч.

Очевидно, уменьшая величину коэффициента йр, можно повысить эффективность облегченного резерва. Но практически это не всегда удается. Даже ненагруженный в электрическом отношении резерв имеет часто значение kv=0,1 -4-0,2, а при систематических ударно-вибрациоииых нагрузках еще больше.

Случай общего резервирования (резерв ненагруженный, учитывается ненадежность переключателей, в том числе ложные срабатывания; основная и резервная цепи равно-надежны). Считаем, что, во-первых, переключающие устройства могут отказать в любой момент времени, а, во-вторых, в произвольный момент времени переключатель может сработать и переключить работу с одной резервной цепи на другую, когда в этом нет необходимости. Кроме того, как и раньше, предполагаем, что поток отказов в системе является простейшим. Интенсив- ность отказов переключателей обозначим через Кл, интенсивность ложных срабатываний через Ял, вероятность отказа переключателя в момент переключения через да. С учетом сформулированных условий составляется матрица вероятностей гипотез подобно тому, как это было сделано при выводе формулы (30-103), и выведенные при этом уравнения позволяют получить формулу [Л. 6]:

/ЯзУя+1

Г Рез= (l ~4 , (30-107)

где Я1=Яо+Яп+Ял; Я2= (Я0+Ял) (1-?п); m - кратность резервирования.

Пример. Для резервированной аппаратуры, находящейся в ненагруженном резерве, при т=2, средней наработке до отказа основной (резервной) цепи 70=1 До=100 ч, интенсивности отказов переключателей Ап = =0,2 Яо, интенсивности ложных срабатываний Ял=0,1ло и вероятности отказа переключателя в момент срабатывания 9п=0,01 найдем значение 7 0рез-

Решение. Определим значения К и Кг:

Ki = 0,01 + 0,002 + 0,001 =0,013 отказ/ч; Х2 = (0,01 + 0,001) (1 - 0,01) 0,011 отказ/ч.

Подставим полученные значения в формулу (30-107):

/0,011 у \0,013/

ор \ 0,01/0,013-0,01

Таким образом, если без учета надежности переключателей ненагруженный резерв в данном случае дает Горез=300 ч, то переключающие устройства удовлетворительной надежности (пр условиям примера) существенно ослабляют выигрыш в надежности.

Случай раздельного резервирования (резерв нагруженный, основная и резервная цепн равноиадежны, переключатели отсутствуют или абсолютно надежны). Интегрируя формулу (30-87) в пределах (0 оо) и произведя некоторые преобразования, можно получить [Л. 18]:

1 ореЗ - , , .

%{т+ 1)

v (Vi + l)(v,- + 2)-.(vl!+A-l)

(30-108)

где N - число элементов в основной цепи;

+ 1

l~ m + l

А = --- - средневзвешенное значение

интенсивности отказов элементов (формула более точна при условии равнонадежности всех элементов).

Случай раздельного резервирования (резерв ненагруженный, основная и резервная цепи равноиадежны; переключатели отсутствуют или абсолютно надежны). Вероятность безотказной работы системы за время t составляет:

= e-vfyMf> (30,

109)

интенсивность новиой цепи;

отказов ос-

X = S kJN - средневзвешенное значение £=1

интенсивности отказов элементов.

Общую формулу для значения Горез в данном случае записать затруднительно. Обычно ограничиваются двумя наиболее важными в практическом отношении случаями, когда кратность резервирования т=1 (дублирование) и т=2 ( троирование ). Резервирование с большей кратностью применяется в радиоэлектронике редко.

В случае дублирования N

То дубл :

=М/(Л-

(30-110)

-1)Ш- число сочетаний из N по L В случае троирования

N г К-1

отр~ Я 2j 2

,2<+/

(30-111)

Случай скользящего резервирования (резерв нагруженный, основные и резервные элементы равноиадежны, переключатели отсутствуют или абсолютно надежны). Пусть имеется в аппаратуре N последовательно соединенных элементов, которые резервируются m элементами (любой из резервных элементов может работать вместо отказавшего основного). Потоки отказов основных и резервных элементов простейшие.

В этом случае вероятность безотказной работы за время t равна [Л. 6]:

(0 =

% CN+mе t=N

-M\N+m-I

(30-112)

где % - интенсивность отказов основных и резервных элементов..

Средняя наработка до отказа системы

составляет:

Орез

(30-113)

Пример. Аппаратура состоит из пяти равнонадежных блоков и резервируется двумя блоками, причем каждый из резервных