Разделы


Рекомендуем
Автоматическая электрика  Автоматика радиоустройств 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [ 25 ] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270

Минимизация ошибки при произвольной структуре

Синтез оптимальной системы. Будем считать, что на вход стационарной линейной следящей системы поступает управляющее воздействие xy(t) и мешающее воздействие xn(t), которые являются стационарными случайными функциями времени. Необходимо определить структуру и параметры системы, при которых дисперсия ошибки вос-. произведения достигает наименьшего возможного значения. Поставленная задача является более общей, чем минимизация при заданной структуре, поскольку здесь фиксируется только класс систем и характер внешних воздействий и определяются не только параметры, но и структура оптимальной системы.

Импульсная переходная функция g(t) физически реализуемой оптимальной системы определяется из интегрального уравнения [Л. 2-4, 6]

со ,

f g(t)Rx{t-%)dx-Rx iX(f)=0, t>0 (21-51) о y

g(t) = 0, г < 0.

Здесь Rx(t-т) - корреляционная функция полного сигнала на входе;

Кху- взаимная корреляционная функция полного входного сигнала x(t) и управляющего воздействия xy(t).

Учитывая, что

ЗС == %y ~Г П

для корреляционных функций запишем (см. т. 1, стр. 87):

Rx (т) = lim Г х (t) х (t + т) dt;

-Т Т

\,х ~2Y j * w xy (t + t) dt.

Если (как это чаще всего бывает на практике) случайные функции ху и хп статистически независимы, то

Rx (т) = lim -~ j* Ху (t + т) ху (t)dt + -т

+ j хп (г + т) хп (0 drj = Ry (т) + Rn (т);

-т ,

+ -МО] ху V + т) dr = Ry (т).

и интегральное уравнение (21-51), определяющее импульсную переходную функцию g(t) оптимальной системы, приобретает вид:

J gW[Ry(t - т) + Rn(t - T)idT-= и

- Ry (t) = 0, t>0.

Возможно и обобщение задачи [Л. 3], когда система должна осуществлять некоторое линейное преобразование управляющего воздействия ху, т. е. должна оптимальным образом воспроизводить желаемый сигнал

xm(t) =H(D)xY(t),

где Н £!>) - некоторый линейный дифференциальный оператор.

Ошибка воспроизведения в этом случае (рис. 21-70)

ввос = xK(t) -y{t) = H(D)xy -

-Ф(й) (Ху + Хи) = Ху (Я - Ф) - Фхи,

где Ф(Б)-передаточная функция искомой линейной системы, в которой минимизируется дисперсия этой ошибки:

xJt)

- к.

Рнс. 21-70. Схемы, иллюстрирующие образование ошибки воспроизведения.

с - желаемое значение выходной величины хж равно управляющему воздействию Ху; б - желаемое значение является функцией =H(D)xv-

Интегральное уравнение для переходной функции оптимальной системы в этом случае имеет тот же вид:

J g(T)Rx(t-t)dx-

Но здесь

(0 = 0, г > 0.

+ x)dt



- взаимная корреляционная функция входною сигнала желаемого, а не управляющего, как это было в уравнении (21-51).

В связи с этим можно искать оптимальную систему не только при #(£>).о=р s s#(p) = l, т.е. ху=хж (задача фильтрации), но и при других предположениях об Н(р), например, когда #(р) =eJ * °-, где fo>0, т. е. когда имеет место экстраполяция желаемого значения входной величины (задача статистического упреждения). Последнее означает, что система должна оптимальным образом предсказывать значение управляющего воздействия на время tD. . Вернемся к уравнению (21-51).

Решение этого уравнения может быть представлено в двух формах:

1. Комплексная передаточная функция оптимальной системы

Ф (/со) =-1-- Г е-1ш dt х

2пЧ (/со) J

X I -м--edco. (21-52)

- ОО

Здесь 44/<o)2=Sx(co),

4я* (/со) - функция комплексно-сопряженная с (/со);

S*(co)= J Rx{x) e-i dt

- спектральная плотность полного входного сигнала;

S*y,*(co) = J RXy,x(T)e-mdT-

- взаимная спектральная плотность входного сигнала и управляющего воздействия, причем

S*(co) - Sy(to) + Sn(co) + + Sy.n(co) + Sn.y(co);

sXrx(° = Sy(°>) + sy.n( >);

Sy, Sa - спектральная плотность управляющего и возмущающего воздействия; Sy.n(co), Sn.y(co)-взаимные спектральные плотности этих воздействий.

Если случайные функции xy(t) и Sn(f) статистически независимы, то выражения для спектральных плотностей упрощаются:

Si (со) =Sy(co) -r-Sn(co);

:Sy(C0).

2. Передаточная функция Ф(р) оптимальной системы определяется следующим соотношением:

Sv Лр )1

(21-53)

Ф(р) =

Здесь введены следующие обозначения:

- взаимная спектральная плотность управляющего и полного воздействия:

S*y,*(P > = Sv*(a)

(при этом р=/со);

- вспомогательная функция (р) (р=/со), определяемая соотношением

¥(р)¥(-р) = ЧЧ/со)2 = S (m),

где Sx (со) - спектральная плотность входного воздействия; - отношение [ ]+ означает следующее: функция комплексного переменного р = Р+/со разбивается на два слагаемых [ ]+ + [ ]-, так что полюсы одного из них [ ]+ лежат в левой полуплоскости р, а другого [ ] -в правой; в формулу (21-53) входит только первое слагаемое этой суммы.

Искомая импульсная переходная функция, удовлетворяющая исходному интегральному уравнению (21-51), определяется из полученных выражений (21-52) или (21-53) и связана формулой (см. стр. 17)

со --со

с передаточной функцией Ф(р) системы.

Минимальная дисперсия при этом выражается так:

- Ф (/со)р Sx (со)] dco. (21-54)

Из двух способов вычисления второй несколько проще. Однако если при вычислении интегралов (21-52) используется описанная ниже процедура, (см. [Л. 3, стр. 282]), то оба способа мало отличаются друг от друга.

Эта процедура состоит в следующем: а) По заданной спектральной плотности Oj (со) вычисляется функция Ч/со). Так как обычно Si (со) является отношением двух полиномов четных степеней, то Чг(/со) и 4?*(ja>) могут быть представлены в виде соотношений:

П(со-рг)

¥(/со) = с

П (со - yi)

(/со) = с

П(со + рг)

П (со + Гг) I

(с - величина постоянная).

б) Составляется отношение J ! . -,

(/со)

которое разлагается на сумму простейших дробей. Из всех членов этой суммы учитываются только те слагаемые, полюсы которых лежат в верхней полуплоскости, т. е



члены типа

со - bi

, и составляется сумма

ч/со) = У-V,

-Jco - bi

представляющая собой результат двойного интегрирования в формуле (21-52) (см. [Л.З, стр. 282]).

в) Находится искомая передаточная функция как отношение

Ф (/со) =

В (/со) i=x

со - bt

¥ (/со) ¥ (/со)

Пример. Найти оптимальную передаточную функцию системы, на вход которой поступает управляющее воздействие ху со спектральной плотностью

Sy(co)

2а2, ос а2 + со2

и мешающее воздействие, которое можно аппроксимировать шумом с постоянной спектральной плотностью Sn(co)=iV.

В данном случае хп(0 и xy(t) -статистически независимые случайные функции и

Sx (со) = Sy (со) + Sn(co); S (со) = Sy (со).

Воспбльзуемся изложенной процедурой, а) Определим W(ja>). Для этого запишем Ss(co) в виде

Sx (со) =

2aai

, + Л = -

2а2, a+N а2+Мо2

а2 + со2 а2 + со2

(л + / V~Na>) [а - j VNu) (а + /со) (а - /со)

где Л = у 2aal + Na2.

Поскольку Sx (со) = (/со) * (/со), то получаем:

d + /~ V со ¥ (/со) =-- и ¥* (/со) =

= ¥(- /со)

а + /со

,4 - jV N со

а - /со б) Составим отношение

Sy(co)

(/со) ¥* Ош) 2а2 а (а -* /со)

(а + /со) (а - /со) (л - / V n со) 2аап

Разложим это отношение на сумму простейших дробей. Это можно сделать различными путями, например используя метод неопределенных коэффициентов:

Sy (со) W* (/со)

= 2аа;

а+/со

= 2аао

Л -/УлГ со

Ma+jaM+LA-/ V N ab

(Л-/ V~n со) (а + /со) Отсюда получаем:

Ma + LA = 1; /соМ - / К лГю£ = 0. Таким образом, находим:

1 -

aVn +Л

Следовательно,

aY~~n +а

[A - iVn со) (а + /со)

Sy (со)

2аОп

Л-/Лсо +/ >J

Из двух членов в скобках только второй имеет полюс Si=co=/a, лежащий в верхней полуплоскости; другой полюс s2= Л

--/-rrr лежит в нижней полуплоскости. \С n

Отбрасывая первый член, находим:

2aOn

В(/со) =

aV N + A a + w

в) Составляем отношение В (До)/Ч7 (/со):

Ф (/со)

В (/со)

2ао£

a -[-/со [a+iV n со) (a + /со) 1

2ох>1

аУN + Л Л+/со К W

-. (21-55)

Вводя в рассмотрение время корреляции тк и подставляя в (21-55) это значение, получаем:

Ф(/со) = Кэ

1 + /соГ




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 [ 25 ] 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270

Яндекс.Метрика
© 2010 KinteRun.ru автоматическая электрика
Копирование материалов разрешено при наличии активной ссылки.