Наличие одинаковых цифр в младшем разряде знака и старшем разряде мантиссы указывает на нарушение нормализации вправо. Для выполнения нормализации сдвинем полученную сумму на один разряд влево и уменьшим на единицу порядок [т. е. прибавим (-1) к порядку]. В результате сдвига влево на один разряд мантиссы 00,01011 получим 00,10110. Прибавляем к порядку (-1), тогда будем иметь:

,0.100 П. 110

10.010

0.011

После нормализации и коррекции порядка имеем:

порядок суммы +011, мантисса +0,10110. Сумма равна 23 - 0,10110

2. В дополнительном коде:

порядок мантисса

0.100 , 00,11101

0.100 ГЦ, 01110

100,01011 -00,01011 знак I

порядка признак

отбросить нарушения нормализации вправо

После нормализации влево и прибавления к порядку (-1) получим:

порядок мантисса 0.100 00,10110

1.111

10.011 -0.011 (три) JI

отбросить

Сумма равна +23 - 0,10110.

При нарушении нормализации вправо в мантиссе после запятой может получиться не один нуль, как рассмотрено выше, а несколько подряд нулей. В этом случае для нормализации выполняется сдвиг влево до тех пор, пока первая цифра после запятой не станет равной 1. После каждого сдвига на один разряд влево порядок числа уменьшается на 1.

Пример. Сложить два числа: -2-3-0,10011 и +2-3-0,10000.

Выполним сложение в дополнительном коде:

Порядок Мантисса

1.101 ,11,01101

1.101 TQ0,10000

1Л01 1UH01

* признак нарушения нормализации влево

В этом случае автоматически выполняется сдвиг мантиссы на три разряда влево и добавляется к порядку (-1) прн каждом сдвиге.

Окончательно получим:

Порядок Мантисса

(.010 11.01000,

что соответствует числу вида: -6

-2. 0,11000

Выполнение умножения и деления в машинах с плавающей запятой. При

умножении чисел в машинах с плавающей запятой выполняются следующие операции:

1) определение знака произведения путем сложения по модулю 2 цифр, изображающих знаки сомножителей;

2) определение порядка произведения путем алгебраического сложения порядков сомножителей;

3) определение мантиссы произведения путем умножения мантисс сомножителей по правилам умножения двоичных чисел в режиме сфиксированной запятой.

Если при перемножении мантисс возникает ненормализованное число, то производится нормализация, т. е. сдвиг в соответствующую сторону и изменение порядка произведения.

Деление чисел в машинах с плавающей запятой производится по следующей схеме;

1) определение знака частного путем сложения по модулю 2 цифр, изображающих знаки делимого и делителя,

2) определение порядка частного путем вычитания из порядка делимого порядка делителя;

3) определение мантиссы частного путем деления мантиссы делимого на мантиссу делителя по правилам деления двоичных чисел в режиме с фиксированной запятой.

При необходимости выполняется нормализация частного путем сдвига мантиссы-в соответствующую сторону и изменения порядка частного.

Вычитание при выполнении деления заменяется сложением обратных или дополнительных кодов.

24-6. ЭЛЕМЕНТЫ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ

Основные логические операции

Применение в цифровых вычислительных машинах чисел, представленных в двоичной системе счисления, в которой имеется всего лишь две различные цифры 1 я О, позволяет использовать при анализе и синтезе схем цифровых машин математический аппарат - алгебру логики.

Основным понятием, с которым оперирует алгебра логики, является высказывание. Высказывания в алгебре логики подразделяются на истинные и ложные.

Истинным высказываниям ставится в соответствие цифра 1, а ложным - 0. Таким образом, в алгебре логики рассматриваются переменные, имеющие только два Значения: 1 и 0 (или да и нет ). Как и в обычной алгебре, переменные величины в алгебре логики обозначают буквами и называют логическими переменными. Все высказывания подразделяются также на простые и сложные. Сложные высказывания образуются из простых. Процесс получения сложного высказывания из простых носит название логической операции. Среди логических операций различают элементарные операции, к которым могут быть приведены любые логические операции. В алгебре логики приняты следующие элементарные логические операции.

Логическое умножение (конъюнкция), представляющее собой высказывание, истинное при одновременной справедливости всех простых высказываний, из которых оно образовано. Логическое умножение имеет смысл И.

Логическое сложение (дизъюнкция), представляющее собой сложное высказывание, истинное при справедливости хотя бы одного из простых исходных высказываний. Оно имеет смысл ИЛИ.

Логическое отрицание (инверсия), представляющее собой высказывание, противоположное исходному простому высказыванию. Оно имеет смысл НЕ.

Перейдем теперь к математическому описанию элементарных логических операций.

Логическое умножение. Логическое умножение двух переменных х и у выполняется в соответствии с табл. 24-2.

Таблица 24-2 Таблица 24-3

Символически логическое произведение записывается так: г=ХАу (читается: г= =хИу).

Из таблицы видно, что логическое про-, изведение принимает значение 1 в том и только в том случае, когда оба логических сомножителя хну принимают значения, равные 1.

Логическое сложение. Логическое сложение двух переменных хну выполняется по правилам, определяемым табл. 24-3.

Символически операцию логического сложения будем обозначать знаком V. Тогда z=x V у (читается: г=х ИЛИ у).

Из таблицы видно, что логическая сумма принимает значение 1 в том случае, если хотя бы одно из слагаемых (х или у) принимает значение 1.

Логическое отрицание. Логическому отрицанию аналога в обычной алгебре нет.

Логическое отрицание обозначают чертой над переменной.

Например х (читается: НЕ х).

Отрицание в алгебре логики образуется по следующему правилу.

Если переменная х=0, то х=1, и, наоборот, если х=1, то х=0.

Основные законы алгебры логики

В алгебре логики существуют следующие основные законы.

1. Переместительный закон: для сложения

xvy = yvx; (24-75)

для умножения

хАу = уАх. (24-76)

2. Сочетательный закон: для сложения

(xyy)Vz = xv(y Vz); (24-77)

для умножения

(хлу)Лг - хл(улг). (24-78)

3. Распределительный закон: для сложения

(xs/y)Az = xAzvgAz; (24-79)

для умножения

x/\yVz = (xvz)A(yvz). (24-80)

4. Закон инверсии: для сложения

xvy = xA~y; (24-81)

для умножения

ХАУ = XV у, (24-82)

где черточки над группой символов означают, что операция отрицания относится ко всему выражению под чертой. Все соотношения записаны для двух переменных, однако подобные выражения справедливы и для любого числа переменных.

Законы, выраженные равенствами (24-75j)-(24-79), соответствуют аналогичным законам обычной алгебры. При преобразованиях логических формул можно в отношении сложения и умножения много- членов, вынесения отдельных членов за скобки и раскрытия скобок применять правила, установленные для обращения с обычными алгебраическими выражениями. Распределительный закон для умножения (24-80) и законы инверсии (24-81), (24-82) являются специфическими для алгебры логики.

Для доказательства справедливости приведенных законов проверим правильность их при всех значениях, которые могут принимать входящие в них переменные, т. е. покажем, что для всех возможных значений переменных х и у правая и левая части выражений совпадают.

Выпишем в виде таблиц значения, которые принимают правые и левые части выражений (24-75)-(24-82), учитывая правила выполнения элементарных логических операций.

Данные табл. 24-4 доказывают справедливость переместительиых законов.

Данные табл. 24-5 доказывают справедливость сочетательных, а табл. 24-6 - распределительных законов.

Справедливость законов инверсии подтверждается данными табл. 24-7.

Анализируя формулы (24-75)-(24-82), а также данные таблиц (24-4)-(24-7), при-

Таблица 24-4

Таблица 24-5

Таблица 24-6

Таблица 24-7

ходим к выводу, что основные законы алгебры логики обладают свойством симметрии в том смысле, что каждому закону, относящемуся к операции сложения, соответствует аналогичный закон, относящийся к операции умножения. Следовательно, любое логическое равенство остается в силе, если в нем заменить все знаки логического сложения знаками логического умножения и наоборот.

Рассмотрим некоторые важные частные случаи равенств (24-75)-(24-82). Исходя из предыдущих определений, можно записать следующие зависимости для операции логического сложения:

xv0 = x; xvl = 1; , xvx - x.

Для операции логического умножения можно записать:

хл0 = 0; ХА 1 = х; хлх = х.

Наконец, Аля операции отрицания справедливы следующие элементарные зависимости:

х\/~х - 1; хДх = 0; ~х = х,

где х - двойное отс.-.ше.