3. Эквивалентные методы характеризуются одинаковым числом изменений направления движения (это число соответствует числу полезных шагов в итерационных методах).

4. При автоматизации решения рассматриваемых задач методы сравниваются по объему дополнительного оборудования. Реализация поисковых методов требует, помимо собственно АВМ, работающей в режиме периодизации, и устройства управления, наличия также устройства для вычисления, функции ц (в обшем случае, т нелинейных блоков). Для реализации итерационных методов вместо этого устройства в качестве дополнительного оборудования необходимо использовать линейное матричное устройство для решения алгебраических уравнений с матрицей размера т X т.

При технической реализации различных алгоритмов решения краевых задач возможно как применение АВМ в составе аналого-цифровых вычислительных комплексов, так и применение АВМ и устройств, специально предназначенных для решения краевых задач, задач оптимизации и идентификации. К числу специализированных машин и устройств относятся АВМ МН-11, аппаратура автоматической оптимизации ААО-1 и аппаратура КАС-1, реализующие поисковые алгоритмы, АВМ Аркус-1 и устройство Итера-тор-1 , реализующие итерационные алгоритмы.

Методы случайного поиска. Методика изменения переменных при случайном поиске сводится к случайному выбору приращения вектора искомых неизвестных Y. По аналогии с методами регулярного поиска здесь возможны как случайный выбор только направления дальнейшего движения при выполнении пробных решений, так и образование нового вектора Y при случай иом выборе приращений и совмещении пробного и рабочего шагов. В первом случае для выбора направления образуется п-мерный случайный вектор, отдельные реализации которого направлены равновероятно во всех направлениях пространства искомых параметров:

e==(ei.....U-

где £j - случайные числа, равномерно распределенные на отрезке - 1 < 1

и нормированные так, чтобы У £j. = 1-

Во втором случае ограничение на величину модуля случайного вектора не накладывается.

Существующие методы случайного поиска делятся на две основные группы -методы, использующие однократную выборку (для выбора направления или образования нового вектора), и методы, использующие многократную выборку (для случайного выбора направления).

Наиболее простым алгоритмом случайного поиска с однократной выборкой является поиск с возвратом. При этом после образования нового вектора Y производится оценка качества полученного решения. Если ц оказалось больше, чем до проведенного случайного выбора нового вектора, следует вернуться к его старому значению, а затем снова осуществить его случайнее изменение. Если случайное изменение оказалось удачным, то выбор нового значения производится в окрестности новой точки.

Модернизацией поиска с возвратом являются методы поиска с пересчетом, отличающиеся уменьшенным числом операций сравнения значений ц. При реализации методов с пересчетом к прежнему значению вектора Y не возвращаются, а следующее изменение вектора Y производят суммированием нового случайного изменения и старого (с обратным знаком), т. е. после неудачной попытки делается новый случайный шаг из старого состояния, что и снижает потери времени на определение значения [и.

Поиск со случайным выбором направления может быть осуществлен как при однократной, так и при многократной выборке. При реализации

методов, использующих случайный выбор направления, поиск производится после Серии шагов в ранее выбранном направлении до тех пор, пока очередной шаг окажется неудачным, т. е. пока выбранное направление уже нельзя будет использовать. Если новое направление оказывается удачным , т. е. после случайного изменения вектора Y значение функции [а уменьшилось, организовыбается движение по этому направлению до изменения функции ц; в противном случае производится повторный выбор направления.

При многократной выборке выбор направления может быть улучшен за счет оценки результатов нескольких проб.

Реализация всех методов случайного поиска может быть наиболее успешной при применении АВМ.в составе аналого-цифровых комплексов.

5. Методы решения уравнений в частных производных

Уравнение b частных производных 18J содержит искомую функцию нескольких независимых переменных и ее частные производные по этим переменным. Линейные (относительно искомой функции и частных производных) уравнения в частных производных подразделяются на три основных типа: эллиптические, гиперболические и параболические.

Пример эллиптического уравнения - уравнение Лапласа (для трехмерной области G с координатами х, у, г)

д-и д-и dht .

Э7 + Э + Эг - (5.30)

описывающее поле, в котором отсутствует движение энергик (стационарное уравнение). При наличии в этом поле источников или стоков с плотностью f вместо уравнения Лапласа записывается его неоднородный аналог - уравнение Пуассона:

ди , ди , ди ,

5F + 57 + 5i5 = (->- (5.31)

Среди параболических уравнений, характеризуюгйих перенос энергии (или массы) во времени t, наиболее часто встречается уравнение Фурье (уравнеиие теплопроводности) = нестационарное уравнение:

. m-Kd-wv

к гиперболическим уравнениям относят волновое уравнение, описывающее распространение волновых колебаний в упругой среде (нестационарное уравнение):

ди , 1ди . дЧ , ди\ ,

Кроме записанных выше трехмерных уравнений, встречаются уравнения в двумерной и одномерной постановке. Уравнения (5.30) (5.33) являются уравнениями с постоянными коэффициентами. Для описания процессов, протекающих в средах с изменяющимися во времени свойствами, используются уравнения с переменными во времени коэффициентами.

В последнее время все большую актуальность приобретают нелинейные уравнения в частных производных второго порядка, в которые входят нелинейные функции искомой переменной:

р / ди ди ди ди ди \

Г + дn

Методы решения уравнений в частных производных на АВМ можно .разделить на методы непосредственного моделирования и алгоритмические.

Методы непосредственного моделирования подразделяются на метод физического моделирования и метод замкнутого моделирования полностью дискретизованного пространства.

При физическом моделировании изучаемый процесс, происходящий в данной области, заменяется аналогичным процессом, происходящим в области, геометрически подобной заданной. Так, например, стационарный процесс протекания жидкости по каналу данного сечения, распределение температуры в теле и другие аналогичные, процессы заменяются процессом протекания электрического тока по геометрически подобному проводнику. Среди таких моделей, образующих основу устройств с проводящей средой, широко распространены модели на электропроводной бумаге типа ЭГДА (модели электрогидродинамической аналогии). Достоинством физических моделей является отсутствие методических ошибок и простота конструкции К недостаткам следует отнести ограниченность применения из-за узости класса решаемых задач и небольшую точность решения, что объясняется сложностью воспроизведения точного геометрического подобия, с одной стороны, и неточностью фиксации геометрических координат измеряемой точки, - с другой.

Наиболее широко используемым методом моделирования с помощью аналоговых средств является метод замкнутого моделирования полностью дискретизованного пространства, который сводится к замене пространственного континуума совокупностью дискретно выбранных точек, являющихся узлами нанесенной на заданную область сетки (прямоугольной, треугольной, шестиугольной и т. п.- отсюда другое название метода - метод сеток). Приближенное решение уравнения в частных производных в узлах этой сетки ищется как решение системы алгебраических уравнений (для стационарных задач) или системы обыкновенных дифференциальных уравнений (для неста- ционарных задач). Метод замкнутого моделирования полностью дискретизованного пространства реализуется главным образом с помощью сеточных АВМ, основу которых составляют пассивные электрические цепи - сетки. Достоинством сеточных АВМ является простота конструкции, возможность получения решения на областях произвольного вида, принципиальная достижимость любой требуемой точности соответствующим выбором аппроксимирующей сетки. Недостатком является ограниченность классов решаемых на них задач линейными уравнениями с оператором Лапласа в правой части. Это ограничение устраняется при использовании для реализации метода сеток АВМ с операционными усилителями, однако их применение в случае большого числа узлов в области связаНо с необходимостью использования большого объема вычислительного оборудования.

Кроме отдельных уравнений, исследуемые процессы описываются системами уравнений в частных производных, наиболее часто системами уравнений первого порядка гиперболического типа.

Постановка задачи для уравнений в частных производных включает задание области G, на которой ищется решение уравнения, а также дополнительных начальных (в случае нестационарных задач) и краевых условий. Последние бывают трех основных видов:

1) краевая задача первого рода - искомая функция а принимает на границе Г заданные значения /;

2) краевая задача второго рода - на границе области Г задано значение нормальной производной искомой функции ~ = р;

3) краевая задача третьего рода -> на границе Г задана линейная комбинация искомой функции и ее нормальной производной и