Сканирование по каждой координате производится о шагом Ау. Выражение для вычисления k-vo вектора К* имеет вид

/У mm, 1 \

Утт, 2

т (-1 где * = /1 + 5](П

Утах, г Ут11\1 г

1 < /;

>=2 т rf--f- Ay,.

При реализации метода обзора в случае равномерного сканирования для

прохода всей области допустимых значений требуются

Утах, г min, г Уг

решений системы (5.9). Ввиду того, что это число может оказаться большим, метод целесообразно применять при решении задач на АВМ с высокой частотой периодизации.

Метод минимизации предусматривает поочередное изменение каждого из элементов вектора Y с переходом к изменению следующего элемента (следующей переменной) при достижении минимума (или максимума) зависимости-функционала р, по изменяемой переменной.

Метод минимизации может использовать в качестве источника информации о качестве поиска как знак приращения Д[а, так и более полные сведения о характере изменения функционала. В первом случае величины приращений могут оставаться постоянными в продолжении всего периода поиска или изменяться в сторону уменьшения (одностороннее изменение величин приращений), или в обе стороны (реверсивное изменение).

При постоянных величинах приращений одному из элементов yi вектора У в точке jfj задается некоторое приращение Af/j. Если величина Д[х при этом оказывается положительной, то поступает команда иа изменение знака приращения Ayi. При отрицательных величинах Д,и. величина yi изменяется в ранее выбранном направлении до появления сигнала Д{л>0. Второе появление сигнала Д[а>-0 приводит к обратному изменению величины yi до

Щ.Яyi = y-=0

И последующему переходу к изменению следующей

переменной. Работу системы при этом можно построить таким образом, что лишь появление сигнала Д[х -< О после последовательности сигналов

Дм-<0.....Дн.>0 вызывает появление указания к переходу к изменению

следующей переменной.

При поиске методом минимизации с односторонним изменением величин приращений после перехода к изменению следующей координаты задается максимально принятая величина приращения Aif/r. с помощью которой производится поиск направления изменения переменной и ее изменение в направлении минимума [а({/г). При достижении минимума зависимостью ц{уг) появляется сигнал Д[А > О, что приводит к одновременному изменению знака и уменьшению величины приращения до ДгУг < AiJ/c- Переход через минимум зависимости [и(Уг) при движении с меньшими величинами приращений вновь вызывает появление сигнала Ац > О и, следовательно, одновременное изменение знака и уменьшение величины приращения до Ауг < Ау. Число ступеней изменения величин приращений может быть любым, однако увеличи-.. ватьего свыше трех нецелесообразно. Достижение минимума кривой р, (Уг) при

изменении величины Уг с минимально выбранной дискретностью, АУг должно вызывать переход к изменению следующей координаты и возврат к максимально возможным величинам приращений (Aiyr+t). Алгоритм изменения переменных методом минимизации с односторонним изменением величин приращений наиболее близок к поведению человека-оператора, вручную изменяющего значении переменных. Действительно, не зная, где находится частный минимум [1{Уг)у оператор сначала резко изменяет значение координаты Уг, а вблизи мийимума изменяет уг более осторожно .

Поиск методом минимизации с реверсивным изменением величин приращений отличается от поиска с односторонним изменением тем, что при переходе к изменению следующей координаты величина приращения не изменяется. Увеличивается приращение лишь в тех случаях, когда значение частной

производной уменьшается до величины, при которой прекращается нор-

мальное функционирование схем управления поиском.

Метод минимизации с пропорциональным изменением величин приращений предполагает изменение величин приращений пропорционально некоторой произвольной функции величины ц и ее производной

(5.25)

Применение описанного метода дает возможность как совместить пробные и полезные решения, подобно вышеописанным методам минимизации, так и разделить их, подобно градиентным методам.

Метод градиента при поиске значений т координат вектора У, определяющих Минимум ц, предусматривает движение вдоль направления антиградиента, соответствующего максимальному убыванию функции ц. Выражение для вычисления k-ro вектора имеет вид

ylk) y(ft-i) grad у.. Ay, где Ay - заданная величина приращения, а

grad [j. =

дУ1

дУ2 дУт

Направление максимального изменения функционала fi определяется вычислением частотных производных с помощью т пробных решений, являющихся подготовкой одного полезного решения. При этом производные ~

заменяются приближенным отношением . Полезные изменения переменных

производятся лишь при полезных решениях, причем величины приращений переменных для каждой из переменных выбираются в общем случае пропорциональными изменению функционала X (5.25), учитывающего не только значения производной fi, но и сами значения [х.

Метод наискорейшего спуска отличается от метода градиента тем, что после предварительного определения направления антиграднента движение по выбранному направлению производится до достижения минимума функции

[Л. Это значит, что при выполнении полезных решений равновероятны любые значения приращений переменной.

Количество точек, где происходит поиск нового направления движения, зависит от характера поставленной задачи, пределов изменения переменных и требуемой точности осуществления поиска [6].

Групповое изменение переменных. Поочередное изменелие переменных при поиске методом минимизации в некоторых случаях не обеспечивает сходимость процесса поиска, особенно при решении задач оптимизации при наличии ограничений [6]. Градиентные методы поиска характеризуются значительно лучшей сходимостью, но требуют больших затрат времени на выполнение пробных решений.

Улучшения сходимости при поочередном изменении переменных (коор-. динат вектора Y) можно достигнуть при групповом поочередном изменении переменных. Один из возможных подходов к построению алгоритма реализации этого метода заключается в том, что двум-трем координатам искомого вектора задаются приращения с последующей оценкой качества этого изменения по знаку Д[А. Если Др. > О (при поиске минимума), направление изменения одной из переменных выбранной группы изменяется; если это не приводит к необходимому изменению знака Д[а, производится изменение знака приращения второй переменной и так далее до тех пор, пока не будет найдено направление изменения, при котором Д[а < 0. Если такое направление найдено не будет, то состав группы переменных изменяется. Выбранное направление используется, как и при реализации метода наискорейшего спуска, до достижения минимума ц на этом направлении, после чего состав переменных изменяется. Группы переменных можно выбирать, например, по порядку, по степени влияния на величину ц и случайным образом; значения приращений можно выбирать так же, как и при реализации метода минимизации.

Итерационные методы В отличие от методов поиска в итерационных методах переход от вектора Е к Y производится без использования нормы и £ II , непосредственно по координатам этого вектора.

В общем случае связь между искомым вектором Y и вектором иевязок Е может быть представлена в виде

Y = QE, (5.26)

где Q - некоторый, в общем случае, неизвестный нелинейный оператор, определяющийся условиями поставленной задачи.

i В.частном случае отыскания начальных значений переменных при решении двухточечной краевой задачи для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений выражение (5.26) отображает линейную связь между вектором невязок и вектором искомых начальных значений переменных Y = х(0), т. е. значения координат вектора х (0) можно найти решением системы линейных алгебраических уравнений

Е = Ах(0) -f В,

где А - матрица; В - вектор-столбец коэффициентов.

Пркменение итерационных методов предусматривает определение искомых переменных Y по выражению

L - а*)С<*£>. (5.27)

где а*) - некоторый числовой множитель; О* - матрица коэффициентов, которые в общем случае являются функциями переменных .у\ .... {/ (индекс k относится к k-й итерации).

Различные методы итераций отличаются друг от друг? выбором множителя а и матрицы G. В первой группе итерационных методов матрица G обра5,уется