2. Сумма квадратов компонент вектора Е

-. 2 = lЯk = Il4

Для функциональных пространств, элементами которых можно считать элементы вектора Е, в большинстве задач идентификации чаще других используются интегральные функционалы.

3. Интеграл от суммы модулей компонент вектора E(i)

tjt т

4. Интеграл от суммы квадратов компонент вектора £(<)

в ряде случаев вместо этих интегральных функционалов используются их алгебраические аналоги:

tk-ti

N т

t=i г=1

N т

где в выражения для норм входят не сами функции £j (t), а их дискретные

h - h

значения, взятые с шагом =-- , N - целое положительное число.

В задачах оптимизации заданная функция F, являющаяся критерием качества исследуемой системы (5.9), чаще всего приводится к виду, аналогичному нормам, представленным выше.

При использовании методов поиска производится одна и та же процедура для всех типов рассматриваемых в этом разделе задач, а именно: отыскивается Минимум (или максимум) функций, заданных в условии задачи или построенных специально, как строятся, например, нормы вектора Е. Для краевых задач или задач идентификации минимум нормы [г совпадает, по определению нормы, с нулем. Следовательно, любой алгоритм поиска, заканчивающийся в точке минимума (i, дает решение указанных задач.

Для получения устойчивых оценок, особенно при решении краевых задач математической физики, целесообразно пользоваться статистическими характеристиками для ансамбля решений, проводимых при одинаковых значениях параметров. При этом наиболее часто в выражениях для (г используются усредненные по совокупности значения невязок

Усреднение невязок позволяет снизить влияние шумов в схеме моделирования при решении малоустойчивых уравнений, чувствительных к изме-

нению параметров [6]. Усреднение невязок по совокупности решений или получение других статистических оценок для комплекса невязок может иметь и самостоятельный смысл, если, например, подбор параметров при решении задачи оптимизации производится на основании статистического исследования моделируемой системы.

Вычисление оценок близости получаемых решений обычно производится с помощью аналоговых операционных блоков: масштабных, суммирующих, интегрирующих усилителей, диодных элементов для образования модуля, блоков нелинейности и блоков перемножения, коммутируемых в соответствии с приведенными выражениями (эта часть работы может быть поручена и управляющему автомату).

Методы изменения начальных услоаий или параметров исследуемой системы

Все методы изменения параметров, управляющих изменением вектора невязок Е, используемые при решении краевых задач или задач оптмизации и идентификации, относятся к шаговым; это связано с тем, что для оценки качества полученного решения нужно выполнить этап решения задачи Коши, т. е. изменение параметров должно производиться шагами с интервалами между ими, необходимыми для выполнения двух остальных этапов (рис. 5.10).

Рис. 5.10. Блок-схема обобщенного алгоритма решения краевой задачи.

Методы изменения переменных подразделяются на регулярные и случай, иого поиска. В первом случае все этапы выполняются с использованием де-термини]рованных способов оценки решений и изменения параметров, а во втором - при выполнении некоторых этапов применяются случайные способы задания переменных. Среди регулярных методов выделяются две основные группы: методы поиска экстремума некоторой функции и итерационные методы. При использовании методов поиска строится специальная функция, характеризующая отклонение получаемого приближения от точного решения. Методы поиска являются достаточно общими и могут применяться как для решения задач оптимизации, так и для решения краевых задач и задач идентификации. Для задач оптимизации специальная функция задана выражением (5.24). Определение минимума (максимума) этой функции соответствует

получению искомого решения. В итерационных методах, используемых при решении краевых задач и, частично, при решений задач идентификации, устанавливается связь между отклонениями получаемых решений и изменяемыми значениями искомых параметров.

Методы поиска. Изменяемые в процессе приближений начальные условия или параметры системы (5.9) представляют собой числовой вектор К* = = (!/\ уК ... , Sm)- Реализация алгоритма начинается с некоторого про

извольного значения к * = (yJ , .....д). Основное выражение, по

которому определяются элементы вектора К*, имеет вид

где ДУ - вектор приращений вектора Y на данном шаге поиска.

Алгоритм поиска характеризуется способом задания элементов вектора ДК и порядком их изменения.

По способу задания приращений известные в настоящее время системы поиска можно разделить иа?две основные группы, одна из которых по своим основам аналдгична релейным системам автоматического регулирования, а вторая - системам автоматического регулирования непрерывного действия.

В системах первой группы источником информации о качестве поиска является знак приращения Др. величины р, после очередного /-го решения:

F/ = f/ -I так что величина AY не зависит от величины производной .

В системах второй группы величина приращения может изменяться в зависимости от скорости изменения функции р., от величины этой функции или некоторых комбинаций скорости изменения и величины р.. Величина приращения может также определяться на основании вычислений, использующих приближенную или точную теорию.

Порядок изменения элементов вектора ДУ разделяет методы поиска на две категории.

К первой категории относятся методы, предусматривающие раздельное поочередное изменение каждого из элементов у{ вектора У. Вторая категория методов характеризуется одновременным изменением всех элементов У. К методам первой категории относятся методы обзора и минимизации (покоординатной). Ко второй категории относятся методы градиента и наискорейшего спуска.

Метод обзора характеризуется изменением параметров по определенной заранее заданной программе, не учитывающей результатов предыдущего изменения переменных. Этот метод удобен при первичном обследовании заданной системы уравнений, когда область значений вектора, удовлетворяющих заданным условиям, неизвестна или когда следует установить однозначность ожидаемого решения.

Наиболее распространенный вариант метода обзора - равномерное сканирование области допустимых значений вектора У, представляемой многомерным параллелепипедом,

. ... гщ1п/-<4г<Утахг. 1,- 2.....