в первом случае предполагается, что переход от одной системы уравнений к другой выполняется при подаче сигналов, образованных в системе управления и появляющихся,например, при достижении заданного момента времени или по результатам сравнения переменных. в частном случае переход к другой qncTeMe уравнений может сводиться к отключению или подклю-. чению какого-либо члена в системе уравнений.

Логические переключения, связанные с выполнением операции выбора, предполагают разделение сложного процесса д = Fixf, х\...\ д; ; t) на отдельные составляющие fi {х, х,...; х ; t), которые воспроизводятся независимо Друг от друга в схеме электрического моделирования. На выходе общей схемы моделирования используются лишь результаты моделирования одной из сторон сложного явления в зависимости от сформулированных условий выбора. При схемной реализации операции выбора в качестве условий проще всего принять выбор максимального или минимального значения из параллельно подготовленных значений ffi

h (Ч .....0;

, максимум

y=F{Xi,x.....д: , /) =

минимум

При использовании операций выбора и замене сложной зависимости несколькими частными, взаимно заменяющимися зависимостями, упрощается схема- электрического моделирования и уменьшается погрешность за счет уменьшения количества одновременно используемых блоков.

Аппроксимация функций. в дифференциальные уравнения, предназначенные для решения и исследования на авм, могут входить нелинейные функции двух видов: функции независимого переменного (переменные коэффициенты) и функции от искомых неизвестных функций, которые могут зависеть от одной или нескольких переменных.

Как правило, заданные функциональные зависимости предварительно преобразуются в форму, удобную для реализации их в авм посредством универсальных нелинейных преобразователей и датчиков универсального Типа, а также блоков перемножения и суммирования. Эти преобразования в большинстве случаев сводятся н аппроксимации заданных нелинейных функций более простыми: полиномами, ступенчатыми кривыми, кусочно-линейными функциями и т. д. [7].

в практике эксплуатации авм до последнего времени пользуются простым графическим методом аппроксимации функций. Аппроксимирующую кривую у = Д;с) изображают на листе миллиметровки размером не менее 0,5х X 0,5 м. Задаются некоторой величиной максимально допустимой погрешности аппроксимации Eq, например = 1% (или в принятом масштабе - 5 мм). Из точки Хй (начало рабочего интервала) проводят секущую так, чтобы до точки пересечения с графиком отклонение прямой от аппроксимирующей функции по абсолютной величине ие превышало е .

Ближайшая к точке пересечения и лежащая за ней точка с координатами

i), в которой погрешность е = ец, будет первой точкой излома аппроксимирующей ломаной.

Используя [Xi, yi) в качестве исходной точки, получим следующий участок ломаной. Этот процесс продолжается до тех пор, пока ие будет достигиу-г конец рабочего интервала х. Количество отрезков ломаной ие должно превышать заданное число S. Если в ходе процесса число отрезков превысит S, то следует возвратиться к началу интервала, увеличить и повторить цикл. Если число отрезков, полученное при аппроксимации, много меньше S, то следует уменьшить e. Для дополнительной оценки погрешности полученной аппроксимации в конце расчета вычисляют среднеквадратическое отклонение.

Для настройки нелинейных преобразователей часто необходима величина ординат точек пересечения соответствующих линейных участков ломаной С вертикальной прямой х = xj. Эти ординаты легко вычислить по формуле

у - у. J

{Удххц = X. - xi i (*лг - -.-i) + Ус-1

или получить графически продолжением линейных участков ломаной до пересечения с вертикальной прямой х - xj.

Процесс подготовки информации для блоков нелинейности легко запрограммировать на ЦВМ, что в некоторых случаях может ускорить подготовку необходимых данных для настройки блоков.

Решение на АВМ задач нединамического характера (образование нелинейных функций, решение конечных алгебраических и трансцендентных уравнений, решение систем неравенств и т. д.) можно упростить, приводя их к обыкновенным дифференциальным уравнениям с начальными условиями (к задаче Коши). Дифференциальные уравнения, определяющие данную функцию или равносильные данной системе алгебраических или трансцендентных уравнений или неравенств, называются определяющими.

3. Методика моделирования задач Коши

для обыкновенных дифференциальных уравнений

Процессу непосредственного общения оператора с АВМ предшествуют следующие этапы подготовки исходных данных: составление схемы электрического моделирования, определение масштабов переменных, расчет коэффициентов передачи операционных блоков (в том числе расчет коэффициентов передачи суммирующих и интегрирующих усилителей и данных для настрой-ки функциональных преобразователей), подготовка необходимых сведений для контроля.

Составление схем электрического моделирования

Аналоговая вычислительная машина является комплексом операционных блоков, каждый из которых выполняет одну или несколько математичес-ских операций (табл. 5.1). Блоки соединяются между собой в соответствии с видом уравнений, подлежащих решению на машине. Это означает что построение схемы электрического моделирования сводится к отображению математических связей в моделирующую эти уравнения схему.

Принцип построения решающих моделей согласно методу непосредственного моделирования описан в гл. 1, § 7. Применительно к практическому решению задач Коши он выражается в следующем. Для каждого уравнения решаемой системы, разрешенного относительно старшей производной, посредством решающих блоков составляется схема, входными напряжениями которой служат предположительно известные искомые переменные задачи, а выход воспроизводит машинную переменную (напряжение), моделирующую правую часть уравнения (в случае линейных уравнений с постоянными коэффициентами для этого применяются суммирующие усилители и усилители перемены знака; при наличии в уравнениях переменных коэффициентов необходимо дополнительно иметь блоки переменных коэффициентов; в случае нелинейных уравнений в схему будут входить также блоки нелинейностей fи перемножения; все передаточные коэффициенты и характеристики блоков должиы соответствовать коэффициентам и функциональным зависимостям уравнений). Интегрирование данной переменной, т.е. включение на выходе

Таблица 5.1

Название блока, обозначение

Графический.символ (главным образом для структурных схем)

Принципиальная схема (примечание)

Операционный усилитель, ОУ

и = - fee (fe -> оо)

См. гл. 2.

Суммирующий* усилитель (сумматор), УС

u(t)

-1

u(t) = ~KiU.(t)

(0 = -]f;,-(0

u(0)

Интегрирующий усилитель (интегратор), УИ

(О = (0) -

Км. (О dt =

= (Oi~J]K, J.(0 dt

а(0 = (0)-Х! X и. (t) dt=u (0) -

(=1 о

(t)dt

= 1 О

Дифференцирующий усилитель (дифференциатор), УД

u(t)

(0 = -.,

(/) = - RCi

duj (J) dt