2) сходственные переменные (zj и г, хц и xi, tfg и tg) связаны постоянными коэффициентами - константами подобия:

С,--, С, (1.30)

Неизменная пропорциональность иногда подчеркивается обозначением С = idem (idem - неизменно). При условиях (1.30) соответствующие сходственные уравнения, функции и переменные называются подобными.

Необходимое условие подобия.- совместность уравнений (1.20)--(1.30) связывает константы подобия определенными уравнениями констант, которые можно получить двумя методами.

Метод перехода от одного сходственного уравнения к другому. Пользуясь константами подобия, заменяют, например, в уравнении (1.28) величины Zi,

tis> Dfg сходственными величинами Zg, xi, t-, Ds, подставляя Zi = Сг,

хц = Cxxi, = Cft, Dfg = . В результате получают промежуточное уравнение

р(СгЧ. Схх, Сф аЛ = 0, (1.31)

которое должно быть тождественным уравнению (1.29). Для установления условий тождественности, являющихся уравнениями констант подобия, необходимо сделать одинаковыми размерности членов этих уравнений. Уравнивание размерностей в уравнениях (1.29) и (1.31) может быть выполнено различными способами, вследствие чего могут иметь различный вид и уравнения констант. Однако всегда каждая возможная форма их может быть преобразована в любую другую.

Пример 4. Объекты описываются дифференциальными уравнениями

14 + ацЧ - 12*1 = Oj (1.32)

DjjZg-I-agjZa - слг = 0. - (1-33)

Констант подобия три:

Замена переменных в уравнении (1.32) дает

2 сг + aiiCjZg - a-ifixX = 0.

(1.34)

Сделав размерность членов этого уравнения такой же, как в уравнении (1.33), получим

D,z, + aCtz, - = 0 . (1.35)

Условия тождественности уравнений (1.35) и (1.33):

и = ад Чф = а: ;> (1.37)

Условия тождественности уравнений (1.36) и (1.33):

Первая форма уравнений констант (1.37) легко преобразуется во вторую (1.38) и наоборот.

Метод критериев подобия. Сходственные уравнения (1.28), (1.29) приводятся к безразмерной форме, при которой все их члены имеют размерность, равную единице!

Ф(г1, хц, <Is. ац) ±1=0; (1.39)

Ф{4, xl,t,D, aj)±\=0. (1.40)

Произведения постоянных коэффициентов и степеней различных величин объединяются в безразмерные степенные комплексы - критерии подобия вида

4-r=airZlrxplirDlir; (1.41)

n = azlrxPprDr, (1.42)

j; где а, pir, Ъг sr - некоторые постоянные.

(. В результате безразмерные функции представляются критериальными функциями

Ф (Zi. л;1г, Dgs, Су) = <Р (Чг); (1-43)

Ф(г2. xl. <2s. D, agy) = <Р (icar). . (1-44)

a уравнения (1.39), (1.40) - критериальными уравнениями

<Р( 1г)±1=0з (1.45)

ЧКг)±1=0. (1.46)

В случае подобия сходственные критерии равны;

Чг = -> . (1.47)

что иногда записывается в символическом виде Пг= idem. Уравнения констант подобия имеют вид

= £irc rcP rc;V~*sr=i, (1.48)

Приведение уравнений (1.28), (1.29) к безразмерной форме (1.39), (1.40) может быть выполнено различными способами. Вследствие этого различный вид могут иметь и критерии подобия, а значит, и уравнения констант. Однако, как и в методе перехода от одного уравнения к другому, каждая возможная форма их преобразуется в любую другую.

Пример. 5. Объекты опИСываются уравнениями (1.32), (1.33). Приводим их к безразмерной форме, например вида

?£L+M 1 = 0- .2. +£21-1 = 0. (1.50)

аиЧ ai a

В первом случае (1.49) получаем критериальные уравнения

111 - tis + 1 = 0: < -722+1=0, (1.51)

причем

и уравнения констант

! = £il£=l; = (1.52)

JCai ai 22 СйгС-г

равносильные (1.37).

Во втором случае (1.50) получаем критериальные уравнения

5 + 512 - 1 = 0; + 5122 - 1 = 0.

причем

ТС,] ==-; jcio =-; zi =- 4:2 =-

ai2*l 12*1 022*2 a22.IC2

и уравнения констант

* 222 J. ацаСг

равносильные (1.38).

Уравнения констант подобия должны быть совместны и независимы. Зависимые уравнения могут быть из системы исключены. Число независимых уравнений констант равно числу т. независимых критериев подобия Лг, которое определяет основная в теории подобия п-теорема:

Зависимость

F{Xi, *2..... Xk, Xi, X2, .... Xn) = 0,

связывающая n = + m переменных и постоянных размерных величин, среди которых k величин х, Xfe обладают независимыми размерностями, может быть преобразована в зависимость

/(Я1, 3t2, Jim) = О

между т = п - k независимыми безразмерными степенными комплексами Лг величин Xi, Х2, .... Xk. X Xg, Хт-

Если число констант подобия (д) равно числу независимых уравнений констант (т), то все константы однозначно определяются из Системы уравнений констант. Если q> т, то д - т констант выбираются произвольно. Случай q < т невозможен.

Частными случаями математического подобия являются: геометрическое (подобие геометрических образов), временное (подобие функций времени; при этом временная константа показывает, в каком отношении находятся такие параметры функций, как период, временная задержка и т. п.), физическое (подобие объектов при наличии их физической аналогии; при этом все константы подобия - безразмерные величины). При физическом подобии критерии подобия могут быть получены без математического описания объектов, на основании анализа размерностей и л-теоремы. .

Анализ подобия двух объектов заключается в: 1) установлении сход-ственности уравнений, описывающих их; 2) определении констант подобия; 3) выводе уравнений констант; 4) установлении соответствия констант подобия уравнениям констант; 5) установлении подобия условий однозначности.