Равномерный закон распределения непрерывной случайной величины X О при л;<л; , ;

*max tnin 2

при х>х

тах mln

0 = -:г=-J

Fix).

-max. Х- у-

0 прил;<л; , ;

х~х.

min

max mln

при >=min<>=<W

при л;>л; з.

Нормальный закон распределения непрерывной случайной величины X

(Х-Шх).

Интеграл в последней формуле не выражается через элементарные функции. Поэтому F{x) выражают через табулированную (табл. 1.2) нечетную функцию Лапласа

причем

При этом

Вер (а<Х<р) = ф

Таблица 1.2

Система случайных величин - это совокупность нескольких величин, значения которых описывают совместно результат случайного события. Систему случайных величин Xj, Xg, Х обозначают как (X Xg.....Х ).

Закон распределения системы двух случайных величин (XY) - заданная в некоторой форме связь между всеми парными сочетаниями всех возможных значений этих величин и вероятностями их появления.

Условный закон распределения одной случайной величины Х системы (ХУ) - это закон распределения ее при условии, что другая случайная величина Y приняла некоторое определенное значение.

Случайные величины X и F системы (ХК) могут быть зависимыми или независимыми, смотря по тому, зависит или нет закон распределения каждой нз них от того, какое значение приняла другая.

Формы закона распределения системы двух случайных величин аналогичны формам закона распределения одной случайной величины. Если X и Y дискретны, то законом распределения (ХУ) служит таблица распределения, в которой для всех парных сочетаний возможных значений Х£ и yj указаны соответствующие им вероятности Р-у.

Функцией распределения системы (XY) является такая функция F(x, у) которая при подстановке возможных значений х к у случайных величин X и F численно равна вероятности того, что X окажется меньше х, а К меньше у, т.е.

F(x, у) = Вер(Х <x;Y< у).

Плотностью распределения системы (ХУ) является функция f(x, у), которая при подстановке возможных значений х к у и умножении на dxdy дает вероятность того, что случайная величина X попадает в промежуток от X др х + dx, а случайная величина У - в промежуток от j/ до j/ -}- df/, т е.

f(x,y)dxdy = Bep(x <X<.x + dx; y<Y<y + dy).

Простейшими численными характеристиками системы (ХУ) служат математические ожидания тх, ту-, стандарты Ох, Оу, дисперсии Dx, Dy; корреляционный момент Кху и коэффициент корреляции Гху

. Корреляционный момент системы (ХУ) -число, равное математическому ожиданию (среднему значению) произведения отклонений случайных величин X и F от их математических ожиданий тх и ту, т. е.

Kxy = M(lX-mx]lY-my]).

Для дискретных случайных величин

Пу Пх

*г/ = 2 2 - - и;

;=11=1

Для непрерывных случайных величин

f<xy= {х - тх) (у - ту) f (X, у) dxdy.,

Коэффициент корреляции системы (ХУ) - число, равное частному от деления корреляционного момента Кху на произведение стандартов оо т. е.

- ху

Подобно изображению одной случайной величины случайной точкой на числовой оси. Система двух случайных величин (ХК) изображается случайной точкой на плоскости в прямоугольной системе координат хОу.

Значения и ту определяют в прямоугольной системе координат хОд центр, около которого распределяются (группируются) случайные точки с координатами, равными возможным значениям х к у случайных величин X к Y. Значения с., Су и D, Dy характеризуют рассеяние случайных точек и служат мерами разбросанности этих точек около центра распределения в направлении осей Ох и Оу.

Значение /-.j, характеризует близость зависимости между случайными величинами системы (ХК) к линейной. Всегда -l<;r;cj,<: + l- При г,у - = + 1 X и F связаны точной линейной зависимостью F = а + ЬХ, причем знак гу определяет знак углового коэффициента Ь. Чем ближе \Гху к 1, тем ближе связь между F и X к точной линейной. Все изложенное для системы (ХУ) легко распространить на систему (XjXg . . . Х ).

Если случайная величина Z связана со случайными величинами Х; функциональной зависимостью Z = f (Х, Х, . .. , Х ), то говорят, что система (XjX .. . Х ) преобразуется в случайную величину Z. При этом, зная характеристики системы (ХХ . .. Х ), требуется найти соответствующие характеристики величины Z. В самом общем случае необходимо преобразовать закон распределения системы в закон распределения Z. Во многих случаях достаточно по простейшим характеристикам системы т, D-, xi х/хр fxxj найти простейшие характеристики /Пг, D, величины Z.

При Z = 2 ii имеем:

п п п п

/ г = 2 ixc-i 2 = 2 afixi +22 Чi<XiXf г-I 1=1 /==1 /=1

(О случайных функциях (t = /) см. в гл. 6).

: 3. Основные положения теории подобия

Основным в теории подобия является понятие аналогии - сходства объектов (аналогов) по некоторым сходственным признакам: качественным ; и количественным [7,16]. Наиболее важным видом количественной аналогии является математическая - сходство по количественным признакам, имеющим математическое выражение в виде некоторых уравнений. Математические аналоги - объекты, описываемые сходственными уравнениями, которые получаются приравниванием нулю сходственных функций - функций одинакового вида, отличающихся только аргументами и отличными от нуля постоянными коэффициентами. Например, 2i= aio%itgaii*;i2 и = = aiiigaiX, но не = Ojoi tg( 2i*i2 + Сгг)- Сходственные переменные - переменные, входящие под знаки сходственных функций одинаковым образом (Zi и Zg; Хц и х;, х и х).

Математическое подобие или просто подобие - математическая аналогия при наличии пропорциональности между сходственными переменными. Два объекта подобны, если:

1) имеют сходственные математические описания в форме уравнений одного вида:

F{Zi. хи, hs, Df ai.) = 0; (1.28)

. F(z, х ts, Ds. 2i) = - С-29)

(=1. 2, ... ; /=1, 2, s=l. 2. ....

де Di, = -L; D=