Величина L((b) выражается в децибелах (1 дБ = 0,1 Б).

Одному децибелу (дБ) соответствует значение А(о>), определяемое равенством 1 = .201gi4((B), откуда Л((в) = 1,12.

Логарифмическая фазовая характеристика (ЛФХ) - фазовая частотная характеристика ф((в), построенная в логарифмическом масштабе частот.

Передаточная функция последовательно соединенных двух систем (звеньев) с передаточными функциями

и соответственно амплитудно-фазовыми характеристиками

1Г(/ш) = Л1.(ш)е> ).; и7,(/ш) = Л,(ш)е> М равна их произведению: ,

W{p)WAP)WAp) = Yf

откуда

W (/ш) = А (ш) е Р > = 1 (ш) А (ш) etf (I 23)

Л (сй) = Л (ш) i4j (св); (1.24)

L (ш) = 26 Ig i4 (ш) = 20 Ig (и) -j- 20 Ig Ag (ш) = (te) + Lg (ш); (1.25)

<р(ш) = 91(ш)--9з(ю). (1.26)

Размерности переменных х, д, г в общем случае различны. При этом функции А (ш), (и), А (ю) не безразмерные.

В общем случае при последовательном соединении п звеньев имеем

L (и) = 2 ? ( ) = .S f

(1.27)

Приведенные характеристики широко используются при анализе и синтезе управляющих систем [19], а также аналоговых элементов и устройств.

Аналитические методы решения обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений ограничены [6]. К численным методам относятся методы Эйлера, Рунге - Кутта и др. [3,9].

Теория вероятностей

Случайные события. Все явления разделяются на закономерные (детерминированные) и случайные в зависимости от того, может быть предвиден или нет их результат или исход [4,8]. Теория вероятностей изучает закономерности в случайных массовых явлениях [8]. Результат случайного явления называется событием.

Вероятность события - это мера возможности реализации его, расечи-танная до проведения опыта (apriori), это ожидаемая доля появлений события (S) в общем числе испытаний, рассчитанная до их проведения. Она

обозначается как Р, Р, Р {S), Вер (S), причем Р=-, где М -число возможных исходов данного случайного явления, при котором имеет место рассматриваемое событие, а N - общее число всех равновозможных исходов этого явления.

Частость события - это мера возможности реализации его, определенная экспериментально после проведения опытов (aposteriori), равная доле появлений события (S) в общем числе испытаний. Она обозначается как W, Ws, W (S),

Част (S) и записывается как W == , где яг--число появлений данного события, а п - общее число испытаний.

Частость события W сходится по вероятности к вероятности этого события Р с увеличением числа испытаний п. Это значит, что с возрастанием числа опытов ИТ приближается к Р, но не с полной достоверностью, а все с большей вероятностью. При Р = 1 - событие достоверно, при Р = О - невозможно.

Равновозможные - это события с одинаковыми вероятностями. Совместные - это события, появление одного из которых не исключает возможности появления других, несовместные - исключают появление других. ,Если в данных условиях возможны только два события, - они называются противоположными. Зависимые - это события, с появлением одного из которых возможность реализации других изменяется; независимые - не изменяющие возможность появления других. Вероятность события S, зависящего от Sj, вычисленная при условии, что имело место, называется условной вероятностью и обозначается P{SSj). Простое - это событие, которое не представляет собой одновременного или последовательного сочетания нескольких событий; сложное - совокупность совместных событий.

Теорема умножения вероятностей- вероятность совместного появления событий Si и равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

Р (Si и Sa) = Р (SiSg) = P(Sj)P iSjSi).

Теорема сложения вероятностей - вероятность появления какого-либо из двух несовместных событий Sj или равна сумме их вероятностей:

Р (Si или Ss) = P{Si + S = P(S{) + P (Sg).

Случайные величины - это велнГчины, численные значения которых не могут ыть указаны до проведения опыта. Если в определенном промежутке случайная величина принимает бесчисленное множество значений, то она называется непрерывной на этом промежутке. Если случайная величина принимает конечное число различных значений, то она называется дискретной. Закон распределения случайной величины X - заданная в той или иной форме связь между всеми ее возможными значениями и вероятностями появления этих значений, является самой полной характеристикой X. Естественной формой закона распределения дискретной случайной величины X служит таблица распределения, в которой приведены все возможные ее значения Xi и соответствующие им вероятности Р,-. Универсальной формой закона распределения (для непрерывных и дискретных величин) служит функция распределении - функция F(x), которая при подстановке некоторого возможного значения х случайной величины X численно равна вероятности того, что при проведении испытания случайная величина окажется меньше х, т. е. F(x) = Вер(Х < х).

Наиболее употребительной формой закона распределения непрерывной случайной величины является плотность распределения - функция /(х), которая при подстановке некоторого возможного значения х и умножения на dx дает вероятность попадания случайной величины при испытании в промежуток от X до X -}- dx, т. е. f{x)dx = Вер(х < X < х -}- dx).

Произведение f(x)dx удобно трактовать как вероятность появления значения X непрерывной случайной величины X.

Функция и плотность распределения непрерывной случайной величины X связаны соотношениями

fM = ~F(xy. F(x)= j f(x)dx.

Вероятность неравенства а < Л < р определяется на основанив закона распределения случайной величины X.

Jo таблице распределения суммированием вероятностей Р{ значений Xi. заключенных в пределах от л; = а до Xg = Р:

Вер(а<Х<Р) = ДРг. По плотности распределения

Вер (а < X <Р) nx)dx. . .

Эта формула является интегральным аналогом предыдущей. Если f{x)dx есть вероятность х, то вероятности Р,- заменяются на f(x)dx, а сумма заменяется интегралом. По функции распределения

Вер(а < X < р) = Р(Р) - F(a).

Наряду с законом распределения случайную величину можно характеризовать значениями некоторых параметров-, определяющими наиболее существенные особенности ее распределения. Такими простейшими характеристиками случайной величины служат ее математическое ожидание, дисперсия, стандарт.

Математическое ожидйние (среднее значение) случайной величины X - Число, равное сумме произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности, обозначаемое как М{Х), или т, или х. Для дискретной и непрерывной случайных величин это число соответственно

л +00

ffi = xiPi; тх = J xf (х) dx. 1=1

Дисперсия случайной величины X,.-число,. равное математическому ожиданию (среднему значению) квадрата отклонения X от среднего значения т т. е. Dx = D(X)=MaX - mxT):

- +00

+.00

(x) dx.

Стандарт, или среднее квадратичное отклонение случайной величины X - число, равное корню квадратному из дисперсии = VDx. Все эти - характеристики связаны соотношением

Значение тх указывает центр промежутка возможных значений случайной величины, около которого распределяются (группируются) случайные точки, соответствующие этим значениям. Значения Ох и Dx характеризуют рассея- ние случайных точек около центра распределения.

Закон Пуассона для дискретной случайной величины X

= гпх = \; а=/1