Разделы


Рекомендуем
Автоматическая электрика  Аналоговые вычисления 

1 2 3 [ 4 ] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143

4. Запаздывание аргумента оригинала на постоянную величину т соответствует умножению изображения на е~:

f{t)f(t-y, Ф(р) = е->Р(р).

6. Умножение оригинала иа величину е~*, где Х = const, соответствует смещению аргумента изображения на величину X:

<р (t) = е-Н (0: Ф (Р) = f (Р + .

6. Дифференцирование оригинала f{t)r=F(P)

9it) = nth Ф(Р) = Р (Р)-fo; . <р(0 = Г(0, Ф(Р) = Р -Р (р)-Р-/о!

9 (?) = (О. Ф (Р) = Р (Р) - P -fo - р -о - - /Г-

7. Интегрирование оригинала f (t) = F (р):

: 9(0=J/(0(rfO. Ф(Р) = -{Р)5

о

8. Произведению изображений Р%(р), Р{р) двух функций f%{t), fz(t) соответствует функция; равная интегралу свертки:

Ф (Р) = i (Р) f й (Р) ? (О = ] --t)/2 () d-

В табл. 1.1 приведены некоторые пробтейшие функции и их1 изображения по Лапласу.

Операторный метод решения уравнения (1.1) с постоянными коэффициентами. Подвергнув обе части уравнения преобразованию Лапласа, находят изображение искомой функции

ур,ш+тЕ). . (,.2j

где \

t (р) = рп-Ь QiP -! -)-----h fl jp + а ?

М (р) = рп-1р + рп2д + .,. + рд- + ( -Ч + at (р ТЧ + P-i/o +

4о> г/о. , {/Г ** - начальные значения функции у и ее производных при = 0.



Таблица 1.1

Оригиналы f (Й

Изображения f (р)

(n-l)I

p + ct

-(l-e- *) сс

р (р + )

, 1 at)

(п- 1)1

(р + а)

- sin ш< ш

р2 +1В2

COS (0<

р2 4- 0)2

- e-sinw

(р + а)2 +

(COS Kit--.sin Kit 11

(P.+ a)+K

- sin ш< - t cosш/

[(P + + >3

-a -f-

sin iB< + at coso)/

{(Я + ) + > 3

/ 3 1.3,

[(р + ) + щ

Затем переходят от Y (р) к оригиналу у (f). В прикладных задачах Y (р) обычно выражается дробно-рациональной функцией

которую можно представить суммой элементарных дробей вида > - :

С Рр+Е

(p-a)ft (pa + pp+.f)s. .

что позволяет воспользоваться при переходе к y(t) табл. 1. I.



Возможны следующие случаи.

1. Нули щ полинома L(p) вещественные и простые:

N(p)

N(p)

L(p) (p -- а) . . . (p -a ) p -ajp -a.

P - n

2. Нули L(p) вещественные, но среди них есть кратные

L (р) (р - cti)Ai (р - акг ... (р а )А/г р (р - a-if

, + +(p- i)*. + +-±+{р-а,)+--- +(p V)Ar-

3. Среди нулей L (р) есть комплексные простые:

Л/(р) NJP) 1

i-CP) (p-ai)*.(p-a/ ...(p2 + piP+-ri)(p + p2P+-r2)-..

P-X-Og

P + PiP + Tfi Р + РгР + Та

4. Среди нулей L (р) есть комплексные кратные. Формула разложения оится аналогично Постоянные С, I [9] или по формуле

строится аналогично случаю 2.

Постоянные С, D, Е находятся методом неопределенных коэффициентов

1 ( /) * (dp )р=пг

Пример 2. Ram у + 2у +3y = f(t); f{t) = i; p = jfj=0. При этом t(P) = P + 2p+3: f (p) = -i; yW(p) = 0. Согласно выражению (1.2)

Y(p)==

p(p2 + 2p + 3)*

Разложение этой дроби имеет вид

р(р2 + 2р + 3) р р2 + 2р+3

откуда

Таким образом.

К(Р) = 1Г1

Р р2 + 2р+3 р2 + 2р + 3 1

(Р + J) + {V2)\

Р {p + lf + (V2f = г/(0 = -- cos 1/1/ - е-sin 12/3.




1 2 3 [ 4 ] 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143

Яндекс.Метрика
© 2010 KinteRun.ru автоматическая электрика
Копирование материалов разрешено при наличии активной ссылки.