Разделы


Рекомендуем
Автоматическая электрика  Аналоговые вычисления 

1 [ 2 ] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143

а квазианалоговые - на основе принципа эквивалентности [22]. Квазианалоговые модели ккких-либо уравнений А - это модели прямой аналогии уравнений Б, хотя бы частично не подобных уравнениям А, или таких, чтобы при выполнении условий эквивалентности все или некоторые из неизвестных уравнений Б совпали с точностью до постоянных множителей с неизвестными исходных уравнений А. В общем случае для реализации условий эквивалентности необходимо организовать определенный процесс управления (уравновешивания).

Одним из наиболее важных классов машин среди аналоговых вычислительных средств являются АВМ, предназначенные для решения обыкновенных дифференциальных уравнений [21, 26]. Они позволяют проводить инженерный анализ автоматических систем с эффективным исследованием многочисленных режимов.

Важной группой аналоговых моделирующих устройств являются также устройства для решения дифференциальных уравнений в частных производных. К ним относятся различные модели на сплошных средах, например, на электропроводной бумаге, электролитические ванны, а также многочисленные тины сеточных электроинтеграторов. Среди последних высокой универсальностью отличаются квазианалоговые интеграторы, с помощью которых стало возможным решение широкого класса уравнений.

Значительное место среди аналоговых машин занимают машины для решения определенных и неопределенных систем алгебраических (конечных) уравнений. К HifM относятся электронные модели на постоянном токе, обычно выполняемые с усилителями, имеющими большие коэффициенты усиления, а также модели переменного тока, в которых, кроме сопротивлений, используются индуктивности и емкости.

Имеется большое количество более специализированных АВМ, таких, например, как машины для моделирования стержневых систем и конструкций, машины для решения задач теплопереноса и фильтрации, для статистического анализа систем и объектов управления и т. д. Разработаны также методы моделирования и построены соответствующие устройства для решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, интегральных уравнений, задач линейного программирования и сетевого планирования 25].

1ервые отечественные электронные АВМ на постоянном токе были построены в 1947-1949 гг. под руководством С. А. Лебедева, В. А. Котельни-кова, В. Б. Ушакова, В. А. Трапезникова и явились началом развития современной АВТ в нашей стране. В развитии электронных средств ЛЕТ можно выделить три этапа, которым соответствуют три поколения АВМ. К первому поколению (1947-1960) относятся ламповые машины, ко второму поколению (1957-1969) - полупроводниковые машины на дискретных компонентах, к третьему поколению (с 1968 г.) - машины на микроэлектронных схемах.

В настоящее время .АВМ первого поколения (МН-14, МН-17, ЭМУ-10) и второго поколения (МН-10, МН-18, АВК-2) выпускаются отечественной промышленностью серийно и широко используются при проведении научных .исследований, разработке технических и рабочих проектов, управлении сложными процессами.

АВМ обладают такими положительными качествами, как быстродействие, простота обращения с ними, наглядность получаемых результатов, возможность оперативного изменения параметров решаемой задачи, невысокая стоимость, инженерная доступность. Все эти качества в должной мере проявляются при решении задач, требующих получения инженерной точности результатов, что объясняется наличием определенных пределов точности измерений и номиналов электротехнических элементов, входящих в операционные моделирующие цепи. Кроме того, имеются ограничения на сложность решаемых задач, пропорционально которой обычно растет сложность решающих моделей в связи с параллельным характером вычислений в АВМ. Иначе говоря, АВМ



в настоящее время рассматриваются как специализированные средства вычислительной техники, не обладающие универсальностью, присущей ЦВМ.

Тем ие менее, к АВМ часто применяется термин универсальные , что подразумевает то, что входящий в них набор решающих блоков принципиаль-.но обеспечивает алгоритмическую полноту при решении широкого круга обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Математические сведения

Приближенные вычисления -

Большинство вычислений выполняется над приближенными числами [4]. Приближенным значением числа х называется число а, незначительно отличающееся от точного значения А и заменяющее последнее в вычислениях. Погрешностью приближенного числа а является разность Д = а - А.

При записи приближенного числа указывается предельное абсолютное значение ошибки А . Запись х = а + Д; означает, что а - Д; < Л < а + + Ат-

Для более удобной записи приближенного числа с указанием его предельной ошибки введено понятие верных значащих цифр. Значащими называются все цифры числа, начиная с первой слева, отличной от нуля. Например, числа 0,01; 2,3; 0,854; 4500 имеют соответственно одну, две, три и четыре значащих цифры. Верными называются значащие цифры, начиная с первой слева до последней справа, за правильность которых можно ручаться с ошибкой, не превышающей единицы разряда последней цифры. /

При записи приближенных чисел все значащие цифры чисел должны быть верными. Следуя этому правилу, запись числа сопровождается указанием его предельной погрешности. Например, запись х = 56,7 соответствует записи X = 56,7 + 0,1, что означает 56,6 <: Л < 56,8.

В больших числах нули справа могут служить не только для обозначения верных значащих цифр, но и для указания разрядности. По виду числа, оканчивающегося нулями, нельзя сказать, сколько верных значащих цифр оно имеет. Во избежание этой неопределенности принято заменять нули, указывающие разрядность приближенного числа, множителем вида 10* {k = = 1,2,...). Если, например, число 12300 имеет три верных значащих цифры, его записывают в виде 123 10 или 0,123 105. Число 0,00001200, имеющее четыре верных значащих цифры, записывают в виде 0,1200 - 10 * и1и 1,200х X 10 Точное значение числа, если оно известно, имеет бесконечное множество верных значащих нулей справа, т. е. верный значащий нуль в периоде, например 2,0...; 360,0...; 0,0010... и т. п. Во многих случаях приходится , округлять приближенные и точные значения чисел. Округление числа заключается в замене его другим числом с меньшим количеством верных значащих цифр и выполняется по следующим правилам:

1. При округлении числа до п верных значащих цифр следует отбросить все цифры, стоящие справа от п-й цифры или, если это нужно для сохранения разрядности, заменить их нулями.

2. Если при округлении числа отбрасывается меньше половины единицы последнего сохраняемого разряда, то цифры всех сохраняемых разрядои оставляются неизменными.

3. Если отбрасывается больше половины единицы последнего сохраняемого разряда, то цифра этого разряда увеличивается на единицу.

4. Если отбрасывается ровно половина последнего сохраняемого разряда, то последняя оставшаяся цифра сохраняется неизменной, если она Четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная.

5. Ошибка, всегда добавляющаяся при округлении, не превосходит половины единицы последнего сохраняемого разряда.



Все вычисления необходимо выполнять с достаточной, но не излишней точ ностью.

При этом руководствуются следующими правилами:

1. При сложении, вычитании, умножении и делении двух чисел в полученном результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их имеет исходное данное число с наименьшим количеством верных значащих цифр.

2. При возведении в квадрат или куб, а также при извлечении квадратного или кубического корня, в полученном результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько верных цифр имеет исходное данное число.

3. Во всех промежуточных результатах при массовых вычислениях, во избежание накопления погрешностей, следует сохранять иа одну цифру больше, чем рекомендуют предыдущие правила. В окончательном результате эта запасная цифра отбрасывается.

4. Если некоторые исходные данные при массовых вычислениях- имеют больше верных значащих цифр, чем другие, то их нужно округлять, сохраняя одну запасную цифру.

Конечные уравнения

Конечное уравнение это равенство f(x) = О, одной частью которого является нуль, а другой элементарная функция некоторой переменной х. Значения переменной х, при которых выполняется равенство, называют корнями уравнения или нулями функции f(x). Решение конечного уравнения заключается в определении его корней.

Элементарная функция это функция, определяемая формулой, содержащей конечное число операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корня, логарифмирования, потенцирования, получения прямой или обратной тригонометрической зависимости и т. п. Функция называется алгебраической, если над х выполняются только операции сложения, вычитания.и умножения. Все неалгебраические функции называются трансцендентными. В зависимости от вида функции f(x) различают уравнения алгебраические и трансцендентные.

Общими методами приближенного решения конечных уравнений являются: захват в вилку , графический, касательных, хорд, итерации {3,9]. При решении систем конечных уравнений используются методы простой итерации, итерации Зейделя, Ньютона, наискорейшего спуска (градиента) 13, 9, 11].

Алгебраические уравнения , -

Нормальная или каноническая форма алгебраического уравнения п-й степени имеет вид

f{x)==A,xn + AiX ~+...+A iX + A = 0.

где X-. комплексная переменная; Ai - действительные постоянные коэффициенты, или после деления на

= 9 (X) = д: -Ь ajxn-i-Ь . -Ь a ix + ао = 0.

Если а - действительный корень алгебраического уравнения, то многочлен tf(x) делится на х-а без остатка. Если р - число, не являющееся корнем, то остаток от деления f (х) на л: - р равен 9 (Р). Если 9 (х) делится на (х - а)* н не делится на (х-a)*+i, то а является fe-кратным корнем. Однократный




1 [ 2 ] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143

Яндекс.Метрика
© 2010 KinteRun.ru автоматическая электрика
Копирование материалов разрешено при наличии активной ссылки.