На практике эта модель строится без предварительного явного перехода к интегральной форме. При этом исходное уравнение переписывается в виде.

dz(t)

= f{t)az(t)

(1.78)

и модель составляется на основе типового рассуждения: чтобы получить функцию z{t), нужно проинтегрировать ее производную, т. е. правую 4jaCTb выражения (1.78). Для этого необходим один интегратор, который охватывается обратной связью, т. е. соединяются те полюса модели, которые соответствуют одной и той же воспроизводимой величине, в данном случае z(t).

~f(t)

Z(t)

Интегратор

Рис. 1.25. Структуры модели для уравнения первого порядка: а - разомкнутой; б -решающей.

Аналогично строятся модели линейных уравнений более высокого порядка. Например, при моделировании уравнения второго порядка

-fit)

где заданы aj, в, /(0. i(O) и у (0), переходят к зависимости

-с г(0.

(1.79)

Рис. 1.26. Блок-схема модели для решения уравнения второго порядка.

по которой можно заключить, что для получения г(0 нужно образовать и дважды проинтегрировать правую часть (1.79), вводя соответствующие обратные связи (рис. 1.26). Эквивалентное интегральное урав-нение имеет в этом случае вид

t К .

г (О = J { J [/ {h) - г Ш dt - ai [г (t) - г (0)] -f z (0)} dti + z (0).

0 0

Из рассмотренных примеров видно, что модель для решения уравнения и-го порядка должна содержать п последовательно соединенных интеграторов. Количество других блоков определяется видом конкретного уравнения.

Если моделируются дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами, то способ построения остается тем же, а для ввода коэффициентов используются генераторы функций и блоки умножения либо специальные блоки переменных коэффициентов.

При решении нелинейных дифференциальных уравнений также применяется метод понижения старшей произво дней, однако в модель включается необходимое число блоков, обеспечивающих воспроизведение всех нелинейных членов уравнения.

Поисковые методы

Ц,ЛА использования моделей операторов исходных уравнении при отыскании их решении без применения метода непосредственного моделирования имеется две принципиальные возможности:

1) получение по какому-либо приближению Zk более близкого к искомому решению приближения Zk+i из выражения

Zk+i = -QZk + ЯФ, й = 0. 1, 2,

(1.80)

отражающего итерационный вычислительный процесс;

2) оценка некоторого варианта невязки епо приближению Zk из выражения

eft = PZft-i?®. (1.81)

k = Zk+QZk-RO (1.82)

с целью получения более точного приближения Zfe+i. Данные выражения отражают процесс вариационного поиска решения.

Эти положения составляют поисковый принцип постпоения и использования моделирующих устройств - второй основной принцип решения задач методом электронного моделирования.

I L

b\ 4

Рис. 1.27. Структурные схемы моделирующего устройства с поиском решений:

а - итерационным; б, в - вариационным.

Поисковые методы применимы также к уравнениям, допускающим решение методом непосредственного моделирования. Это целесообразно в тех случаях, когда действующие по принципу непосредственного моделирования модели оказываются неустойчивыми. Другой важный фактор - возможность уменьшения аппаратурных затрат по сравнению с методом непосредственного моделирования за счет многократного алгоритмического использования более простых блоков.

В моделирующем устройстве, реализующем процесс (1.80), кроме моделей операторов уравнений Q и преобразования R, необходимым звеном является запоминающее устройство ЗУ, а для автоматизации машинного вычислительного процесса требуется управляющее устройство УУ-(рис. 1.27,ti). Выражениям (1.81) и (1.82) соответствуют структурные схемы, показанные на

рис. 1.27, бив где генератор решения ГР - управляемое устройство, способ ное воспроизводить такое множество функций, среди которых имеются достаточно близкие к решению.

Таким образом, моделирующие устройства, действующие по итерационному принципу, представляют собой алгоритмически замкнутые системы, в которых обратная связь осуществляется посредством запоминающего устройства, включенного между выходом и входом модели оператора уравнения. Из анализа итерационных численных методов следует важное свойство итерационных поисковых устройств: решаемые с их помощью задачи должны быть представлены уравнениями второго рода.

Достоинство вариационных методов заключается в широкой области сходимости, охватывающей больший, чем итерационные методы, круг решае

мых уравнений, в том числе нелинейных. Ва-риационные поисковые моделирующие устрой-

. Xi

--<м\-

,£ / ства имеют следующие свойства: оии допус-

кают решение задач, представленных уравнениями как второго, так и первого рода; в их составе необходимо наличие специального блока, генерирующего различные варианты искомого решения

В общем случае структура любого алгоритмического моделирующего устройства п I по /- представляет собой совокупность двух основ-

Рис. 1.28. Схема моделирую- дх частей: модели, выполняющей заданное щего устройства для реше- математическое преобразование, й устройства, ния конечного уравнения пу- осуществляющего поиск решения. Первая из тем вариационного поиска. j,,;, решающая (моделирующая) часть, моделирует математические зависимости, существующие между заданными и искомыми переменными исходного уравнения, содержит необходимый для этого состав решающих элементов и, следовательно, включает в себя всю информацию об искомом решении. Вто же время она не является моделью исходного уравнения, а представляет собой разомкнутую схему преобразователя, позволяющую по некоторому варианту решения получить новый, более близкий к искомому вариант или невязку.

Вторая часть моделирующего устройства предназначена для реализации процесса извлечения информации, заложенной в моделирующей части, и должна содержать элементы, главным образом, логического типа для реализации заданного алгоритма управления моделью в процессе поиска решения, что дает основание называть эту часть устройством управления.

К уравнениям, решаемым на АВМ поисковыми методами, относятся конечные уравнения, краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, системы неравенств, интегральные уравнения Фредгольма. Этими же методами решаются многие типы уравнении в частных производных, предварительно приводимые к обыкновенным дифференциальным уравнениям с краевыми условиями

Типичным примером, иллюстрирующим структуру и принцип действия поискового моделирующего устройства, является устройство для решения конечных уравнений, в котором принципиально может быть использован любой из известных численных методов. Практическое применение находит метод подбора корней [15], заключающийся в постепенном определении путем пробной подстановки такого значения неизвестной, при котором уравнение обращается в тождество. АВУ этого типа предназначено для определения вещественного корня г уравнения

/(2. хг) = О (1.83)

как функции г = 2(жг), Схема такого специализированного АВУ (рис. 1,28) содержит аналоговое вычислительное устройство АВУ, воспроизводящее