Разделы


Рекомендуем
Автоматическая электрика  Аналоговые вычисления 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 [ 131 ] 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143

Величина [ является не строгой относительной погрешностью

II И . ,

однако ее можно принимать в качестве приближенного значения для относительной погрешности.

Значения норм ЦДЛ Ц и Д& можно оценить их максимально возможными значениями при различных сочетаниях погрешностей Да.-, ДЬ. Так, например, при оценке первой нормы ДЛ j все величины Доу принимают

I Г

максимально возможными, тогда оценки для погрешностей ДХ и

являются детерминированными.

Вычисление обратной матрицы представляет собой в общем случае трудоемкую задачу. В частных случаях норму обратной матрицы можно оценить достаточно просто [31], [13]:

если логарифмическая норма [32] (Л), соответствующая норме \\ А Ц отрицательна. Для первой, второй и третьей норм матрицы логарифмические нормы следующие:

ti = max (Re а.,. + I у I - I 1):

Tfa = max (Re а,.) +2 I у I - I / .=1

j = max s,

A + A\

здесь - собственные значения матрицы

Более точный результат с небольшим увеличением вычислений дает способ оценки погрешности решения системы (6.52) на АВМ, основанный на оценках дисперсий и математических ожиданий погрешностей [14]. Способ состоит в следующем. Погрешность (6.55) записывается в виде

ДХ = ДХ-4-ДнХ, (6.64)

где Д определяется выражением (6.56), а

= Л-J 2 (- I ) (Л-1ДЛ)/ {ААА-Ч + Щ. (6.65) 1=1

Из (6.60) и (6.64) следует, что

\tXi\<\Ai\.+ \\AX\\. (6.66)

Поскольку величины AXj представляют собой суммы случайных величин, число которых велико (при заполненной матрице А оно равно -f я), то закон распределения для них можно с высокой точностью считать нормальным на основании центральной предельной теоремы [8]. Поэтому неравенство

Д,<Ж[Д(] + За[Дх,Ь (6.67)



где М [ДдХг] и о [ДдДгг] - рассчитываемые по формулам (6.58) и (6.59) математическое ожидание и среднеквадратическое значение случайной величины ДлДСг, выполняется с вероятностью 0,997.

На основании неравенств .(6.66) и (6.67) следует, что неравенство

I Д,- \<\М [Ал-] I + Зо [Д] + II Д А- II (6.68)

выполняется с вероятностью, большей чем 0,997.

Вместо неравенства (6.68) можно использовать более грубое:

I Дх, К II М [ДХ] II -Ь 3 V\\D{AX\\\ -Ь II Д Х II. (6.69)

Входящие в неравенство (6.69) нормы оцениваются следующим образом:

II м\\ II < 1И-1II (II м [ДЛ] 11-11 А-ч II + II уи [де] II):

Д[ДХ]< Vll [\\D{LA\\\.\\(A-b)i\\ + \\Dm\\). (6.70)

Выражение (6.70) для первой и второй норм иногда удобнее преобразовать к виду

II D [Д Х] j 2< II Л-1 llj [II D [LA] ,..21И-16 ,% -f- iD т llig}.

Неравенство (6.69) дает обычно существенно меньшее значение оценки для Д;с,-, чем неравенство (6.61).

Системы линейных дифференциальнь)х уравнений

Рассмотрим анализ приборных погрешностей моделирования дифференциальных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов Ai

К = ЛК+/(0. К(0) = Ке, (6.71)

где К - вектор-столбец неизвестных функций yi(t), /= 1. я; / (О -вектор-столбец функций {() (свободных членов); - вектор-столбец начальных значений i/q искомых функций.

На точность решения линейных дифференциальных уравнений на АВМ оказывают влияние погрешности ввода коэффициентов, различные паразитные параметры операционных элементов решающих блоков, неточность ввода начальных условий, влияние неодновременности срабатывания коммутирующих элементов [47], неидеальность усилителей. Погрешности Аа ввода коэффициентов flj-y приводят к эквивалентному изменению матрицы А на величину АЛ. Неточность ввода начальных условий (погрешность установки начальных напряжений на операционных конденсаторах) приводит к изменению вектора Ко на ДКо. Вектору свободных членов f{t) исходной системы (6.71) соответствует в реальной системе уравнений модели вектор /(/) -\- Af(i), где

Д.(0= Д1/(0 + 2(0 +Дз/W:

Ajf -* вектор-столбец погрешностей, обусловленных неточностью формирования функции f{i) (например, погрешность.функционального преобразователя, на выходе которого образуется функция f{t)y, AgO и ~ векторы-столбцы величин, которые обусловлены соответственно сеточными (базовыми) токами и напряжением дрейфа операционных усилителей. Таким образом.



систему уравнений, которыми описывается модель (без учета влияния паразитных параметров), можно представить в виде

(Y + АУУ = (А+АА)(У + AY) + f (t) + Af(t);\

(1 + ДП=о = 1о + Д>о. 1 (2>

Задача оценки точности решения систем уравнений (6.71) на АВМ сводится к оценке разности решений систем (6.71) и (6.72):

(AY) = (Л -Ь ДЛ) ДК + AAY + Af (t); AY (0) = ДКо-

(6.73)

Решение системы (6.73), т. е. вектор погрешностей решения (6.71), имеет

AY = е<+>ДКо + j е(+Д)(-) [ДЛК (t) + Af (t)] dz. (6.74) О

где 6**+* - матричная экспонента [11]; К (t) - решение системы (6.71):

к (Т) = ИТо + I И<->> / (Т) dTf.

Для величины (6.74) используются как детерминированные, так и ве* роятностные оценки. Детерминированнаи оценка следует из оценки (6,74) По норме [15]

II ДК II < e-it [ ДКв II -Ы1 ДП1 У* -Ml ДЛ II . II Ко

+ 1Д1М1/1

1-е-* ,. е<1-т <-1

e-i*t - \ e(Tt-Tt*W i

7*7 7(7 -7*) J

(6.75)

где 7 й 7* - логарифмические нормы для А и Л*; / = тахЦ / (01;

ДП = п1ах Д/(0. *

В выражении (6.75) значения норм !ДЛ, Д/. ДКсИ принимаются максимальными при различных сочетаниях погрешностей элементов Аоц, A/j, Af/jp соответствующих матриц и векторов.

Вероятностная оценка для погрешностей (6.74) получается [14] следующим образом. После отбрасывания в системе (6.73) величин второго порядка малости получают

(АУ) = ЛАК + АЛК 4- А/ (t): \ AY (0) = АКо.

(6.76)

Вектор математических ожиданий решения системы (6.76) при условии независимости случайных величин

v М [AF] = [AKol J е -) {М [АЛ] К (т) + Л( [А/ (т)]}йх. (6.77)




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 [ 131 ] 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143

Яндекс.Метрика
© 2010 KinteRun.ru автоматическая электрика
Копирование материалов разрешено при наличии активной ссылки.