1. Погрешность моделирования .величины xi(f) . .

At(t)kiXp,{t)-x f(t). (6.1)

где ki - масштабный коэффициент, который с целью упрощения записипринят в дальнейшем, без ограничения общности, равным единице. Поскольку знак величины погрешности часто бывает неизвестен, то используют абсолютную погрешность.

2. Абсолютная погрешность моделирования

Как погрешность, так и абсолютная погрешность моделирования может характеризовать точность моделирования в совокупности с величиной (<) или kixiit).

3. Относительная погрешность моделирования

oi= \. .t)\ (6-2)

Несовершенство этого показателя проявляется при малых значениях х1 (О- При Хд (t) = О он принимает значение, равное бесконечности, и практически не несет никакой информации о точности моделирования. В этих случаях целесообразнее использовать приведенную относительную погрешность.

4. Приведенная относительная погрешность моделирования

5. Для Оценки величин (6.1)-(6.3) применяют также предельные (максимально возможные) абсолютные Да относительные В, и приведенные Б, относительные погрешности. Для вычисления относительных и приведенных погрешностей можно использовать приближенные значения х, (t) вместо идеальных величин x{t).

Точность моделирования физического процесса, который описывают функциональной зависимостью

х = Ф(/, <?,... ,9 ), (6.4)

где gi- коэффициенты, характеризующие параметры процесса; t - аргумент; х- искомая переменная, зависит от точности описания процесса, точности воспроизведения на АВМ соотношения (6.4), которая определяется как погрешностью аналоговых решающих блоков, так и ошибками применяемых при этом методов аппроксимации. Поэтому в общей погрешности (абсолютной, относительной и т. д.) моделирования выделяют составляющие: наследственную (трансформированную),-приборную и методическую погрешности (абсолютные, относительные и т. д.).

Наследственная, или трансформированная [5, 23], погрешность моделирования физического процесса - погрешность,обусловленная неточностью его описания, под которой далее понимаются только погрешности Дцг исходного задания коэффициентов qi

= Ф (i- Я± + tfli----.дп + КЧп) - Ф (hqt.....ЯпУ

Приборная погрешность моделирования физического процесса - погрешность, обусловленная неидеальностью решающих блоков, что. напри-

мер, проявляется в погрешностях Aqi задания коэффициентов gi в вычислительной машине:

Д = Ф (t, Qi + Aq, ... ,qn + Kqn) - Фt,ql.....g ).

Методическая погрешность - моделирования физического процесса- погрешность, обусловленная аппроксимацией выражения (6.4) при его воспроизведении в вычислительном устройстве:

Д = Ф* (t. qi,....qn)-Ф {t, qi.....g ).

где Ф* (t, qi, . .. , g ) - зависимость, полученная путем аппроксимации зависимости (6.4).

Методическая погрешность имеет место, например, при моделировании на ЦВМ процесса, описываемого дифференциальными уравнениями, которые решаются путем конечно-разностной аппроксимации, а также при моделировании на АВМ систем с распределенными параметрами.

Полная погрешность моделирования -погрешность, обусловленная совместным влиянием источников наследственной, приборной и методической погрешностей. Абсолютная полная погрешность моделирования

Да = I Ф* {t, qi + Aqi + Aqi.....q + Aq + Д д ) - Ф{t,qi,..., q ) .

Приближенно полную абсолютную погрешность можно выразить как сумму Д Д + Д + Д .

Предельные абсолютная, относительная, приведенная относительная полные погрешности

\= max Да(01. К= max \b(t)\, В = max В (/) .

(6.5)

4 = + (6.6)

По характеру погрешность моделирования может быть как систематической (детерминированной), так и случайной величиной или функцией (о случайных величинах см. в гл. 1). Случайной функцией X(t) называется функция, значения которой при каждом значении аргумента t представляют случайные величины, называемые сечениями случайной функции. Случайная функция X(t) характеризуется законом распределения ее вероятности, т. е. вероятностью выполнения неравенства X(f) <.y{t) при всех значениях аргумента

Fx[ym = P{}<it)<yit)l (6.7)

где у (О - заданная функция.

При численном расчете (6.7) неравенство X(t)<y(t} аппроксимируют системой неравенства X(ti)<y(ti), i=l, п и закон распределения (6.7) приближенно определяют через п-мерную совместную плотность вероятности / [z(/j), .., , г(/д)] системы случайных величин X{ti), i=l, п (см. гл. 1):

Fx [у (01 J J /п [г (h).....г (/ )] йг (fi), .... dz (/ ). (6.8)

-ее -00

Во многих практических случаях для характеристики погрешности моделирования пользуются одномерным законом распределения вероятности скалярного случайного значения функции X{t) при произвольном значении аргумента t. Одномерный закон распределения случайной функции X{t) зависит от t как от параметра и может быть задан одномерной плотностью вероятности h П [39]:

Fx,(y)=PlX(t)<y], f/= const.

Как видно, в отличие от п-мерного (строго говоря бесконечномерного ) закона распределения (6.8) одномерный закон распределения характеризует распределение случайной функции только в отдельных точках tk аргумента t как случайную величину, не определяя характера взаимной зависимости значений функции при различном значении t.

Основные характеристики закона распределения вероятности случайной функции X(t): математическое ожидание

MlX(t)l= J yfi(y, t)dy,

дисперсия

D [X (t)] = J {у-MIX fi (У. t) dy.

- со

корреляционная функция

со DO

Kx(t,n= J {y-MlX(t)]}[y-MlX(n]}h(y,yt.ndydy

-со -со

(здесь fziy, у, t, f) называется двумерной плотностью вероятности) являются детерминированными функциями времени.

Обычно погрешность моделирования обусловлена влиянием большого количества первичных источников, поэтому, согласно центра;1ьной предельной теореме [8], она подчиняется нормальному одномерному закону распределения или весьма близкому к нему. Нормальный одномерный закон распределения погрешности моделирования Д (<) характеризуется одномерной плотностью вероятности

(gW-M[u(fl])

/(, 0 =-Цт-е . (6.9)

о[Д(/)]/2,с

где о [Д (/)]-среднее квадратическое отклонение функции Д (<) от ее математического ожидания М [Д (/)].

Графики функции вида (6.8) при различных средних квадратических отклонениях для. момента времени tk показаны на рис. 6.1,

Нормальный одномерный закон распределения погрешности полностью характеризуется математическим ожиданием и дисперсией (далее слово одномерный опускается). При описании погрешности моделирования нормальным законом распределения вероятностей делается предположение, что предельное значение может быть сколь угодно большим. Поэтому часто предельной погрешности придают значение

Д = м[Д(0](+Зо[Д(0]. , . (6.10)