с функциональными преобразователями может быть названо динамическим линейным преобразователем (ДЛП).

Если структура ДЛП позволяет получить различные варианты импульсной переходной функции V(x. Cf, ... , С ) в зависимости от свободных параметров Cj, . .. , С , то задачу построения модели можно считать решенной при достижении функционалом

[А = f [1 (О - V (t, Ci.....Сп)Г dt. t e [0. Г] (5.93)

минимального значения, достаточно близкого к нулю. Ввод эталонного сигнала V{x) и образование функционала (5.93) обеспечиваются соответствующими операционными блоками. Практически удобнее в качестве воспроизводимой характеристики ДЛП использовать переходную функцию V{t) ~

V(t, Ci,..., С ) dx как реакцию на ступенчатый единичный сигнал. В ка-

честве критерия близости V(0 и V(0 можно использовать интеграл от модуля их разности. Таким образом, структурная схема устройства для машинного синтеза модели приобретает вид, показанный на рис. 5.30, а при вводе V {{) посредством блока переменных коэффициентов (ВПК) или на рис. 5.30, б при вводе V{t) посредством блока нелинейностей (БН). В обоих случаях устройство реализует функционал

Г / t

fA=J{Jl(. Ci.....C )dx-JV(T)

ДЛП удобнее всего строить в виде схемы, реализующей какое-либо аппроксимирующее выражение, например степенный полином, и использовать для этой цели интеграторы или инерционные звенья. Высокая эффективность способа достигается при использовании оптимизаторов совместно с АВМ илн

гвк.

9. Решение интегральных уравнений

Интегральными называются уравнения, содержащие искомую функцию под знаком интеграла. К ним сводятся задачи физики и техники, требующие для своего решения, как правило, применения средств вычислительной техники. К числу уравнений, решаемых на АВМ, относятся:

1. Линейное интегральное уравнение Вольтерра второго рода

д{х)+К (X, S)д{X) ds = f {X), х € [0. X], (5.94)

которое можно рассматривать как частный случай нелинейного уравнения

М + J К (X, S) F [у (S)] ds = f (х). (5.95)

где у(х) - искомая функция; К{х, s) - ядро и fix) - правая часть - заданные действительные функции; х as - независимые действительные переменные, изменяющиеся в пределах [О, X]; F заданная нелинейнай зависимость.

Методика решения уравнений Вольтерра, рассмотренная ниже, относится к двум случаям:

ядро вырожденное, т. е.

. К(х. s)=j;ai(x)i(sy, (5.96) ядро разностное, т. е.

К(х, s) = K{x - s). (5,97)

2. Линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода

У(х)+[К(Х, s)y(s)ds=f(x). . (5.98) * о

которое можно рассматривать как частный случай нелинейного уравнения

:(х. s)Fly{s)]ds = f{x). . (5.99)

у(х)+К{

Уравнения (5.98) и (5.99) отличаются от (5.94) и (5.95) наличием постоянного верхнего предела интегрирования 1(х и s изменяются в пределах [О, Д). Методика решения уравнений Фредгольма рассматривается для случая, когда ядро вырожденное, т. е. удовлетворяет виду (5.96) или может быть к нему сведено.

Приведение ядер к вырожденным. Если ядро К{х, s) задано аналитически и является достаточно гладким, то к вырожденному его можно привести путем приближения отрезком ряда Тейлора:

K(x,s) = Kia,b) + Ji(x-a) + J(s-b) +

)(.- );+f (. )(. .)+

, дЩ{х, S),

+ .4 (х-ьг

дХ V- -I- дд

Л-----\-Rm(x>s), (5.100)

где Rm{.x, S) - остаточный член, а все производные берутся в точке (а, Ь).

Если интервал [О, X] или [О, Д невелик, то достаточно ограничиться вторым или третьим приближением.

После выполнения приближения (5.100) ядро представляется в-виде суммы произведений степенных функций от х и s:

К (X, S) к Со -Ь Cfx + CjS -f Cgx + CjS -1----+ Cjxs -f Cxs -f Cxs -----,

где Cq, Cf, ... - коэффициенты, получаемые при раскрытии приведенного выше ряда Тейлора.

Степенные функции достаточно просто генерируются решающими блоками АВМ.

Существуют также и другие способы приближения произвольных ядер вырожденными [3].

Методика решений уравнений Вольтерра. Моделируемое выражение получается при подстановке выражения для ядра (5.96) в уравнение (5.94) и переносе интеграла в правую часть:

y{x)f (X) - п (X) I is) у (S)

(5.101)

Оно позволяет построить решающую модель, структурная схема которой показана иа рис. 5.31, а.

>о-с1]-LfVi-ojH БП Ъ>-о-{

Рис. 5.31. Схемы модели для решения интегральных уравнений Вольтерра:

а - структурная; б - принципиальная.