Моделирование на основе аппроксимации переходных функций

Представление переходной характеристики (функции), полученной при интегрировании оригинала заданной передаточной функции W(p) в виде выражения

I/ (О F (t) = ао + е- 2 а/-\ (5.77)

Вых.

позволяет путем преобразования последнего по Лапласу - Карсону получить приближенное моделируемое выражение в виде

W(p)W

(Р) =

(Р+?)

. (5.78)

Рис. 5.26. Схемы модели аппроксимирующего вьфажения передаточной функции:

а - структурная; б - принципиальная при п=3. где X - коэффициент затухания;

Oi = - hi;

(5.79)

Для моделирования передаточной функции (5.78) используется схема (рис. 5.26, а), состоящая из параллельно соединенных инерционных моделирующих звеньев с передаточными функциями вида -.-у .. , каждую из koto-IP 4- Ч

рых можно легко воспроизвести посредством i одинаковых апериодических

звеньев с передаточной функцией - Для определения параметров

модели необходимо знать величины ai и X, по которым находятся коэффициенты hi из выражений (5.79).

Используя метод интерполяции и задавшись положительным значением X, Ui определяют из системы

V(9 = ao-be

/=0, 1. 2.....п.

(5.80)

где tj- фиксированные значения аргумента (узлы интерполяции), выбираемые в зависимости от характера функции V{t); в частном случае они могут быть равноотстоящими (следовать друг за zipyroM с постоянным интервалом -= шагом).

Недостаток данного способа в том, что не всегда удается получить модель с малым количеством звеньев, так как для достижения хорошей точности аппроксимации порядок п системы (5.80) должен быть достаточно большим [количество членов суммы (5.78) также равно п].

Используя метод наименьших квадратов, коэффициенты удобнее искать при аппроксимации функции

(5.81)

При этом коэффициент затухания X также задается, а величина ад определяется как установившееся значение переходной характеристики V (t), т. е. Co = limK(i). Ряд (5.81) представляется в виде полинома [4]

V* (t) =

Co Cl

в котором

Cn i c

,2(n-l);

C i Cn

C2{n-1)

C,= 2 t r = 0, 1, 2. /=1

Тг = S *(9- = 0. 1. 2.....(n-l).

(5.82)

(5.83)

(5.84)

где / = I, 2, ... , m - номера точек интерполяции.

Раскрыв ряд (5.82), получаем каждое звначение а{ как коэффициент при х~. Построив функцию V{f), можно оценить погрешность приближения и, если она велика, уточнить расчет. При этом, обычно, прибегают к увеличению порядка полинома (5.77). Однако более рационально использовать возможность уточнения К, ранее выбранного произвольно. Один из способов уточнения Я

состоит в том, что для тех же точек интерполяции составляют систему из/и уравнений:

- V Ц-) - е * t - о = о. = ТГ (5.85).

с неизвестными Определив из нее Х,..., т. в качестве искомого коэффициента затухания принимают

Используя полученное значение % в сочетании с ранее определенными значениями а{, можно резко уменьшить погрешность аппроксимации, избавившись при этом от необходимости изменять (дополнять) схему модели. В принципе можно продолжить этот процесс уточнения, если для вновь полученного значения К заново вычислить at или даже повторить этот цикл несколько раз по схеме

.Х(1) oji) Х<2> af .. - Х<* - af - - -

(индекс k -. номер приближения), пока не будет достигнута заданная или принципиально возможная точность аппроксимации.

По Значениям и X из (5.79) определяют значения hi, которые непосредственно используются для расчета параметров модели.

Пример 3. На рис. 5.26, б показана схема модели, построенная в соответствии с аппроксимирующим выражением (5.78) при п = 3 и легко достраиваемая при п > 3. Передаточная функция модели

, 13 J RisRs , RtsRn j

2RiRgRio {RsCp + 1) (ЛцСбР -t- 1) (CSRioCsP -f 1) позволяет записать выражения, определяющие ее параметры:

/1д = 13 . RjsRa . RiaRe . RisRuRli . Ri RRs 2R7R5 2RiRRiQ

RgCi = 0.5RbCs = RfCs RsCi = RiiC = CbRioC = ~.

Знаки коэффициентов Ло - вводятся посредством ключей Кл1-Кл4.

Пример 4. Проиллюстрируем рассмотренный способ определения аппроксимирующего выражения (5.78) для модели передаточной функции V (р), которой соответствует переходная функция

li (О = I - е-erfc ]/7 #-i-. f I-Ь--W I/(Р), где erfc Yt=i- erf Yt,