[ и +1 иЛ

Разделив (5.52) на £о \ учетом малости Wj У

fe=l

т. е. отношения -g- приближенно удовлетворяют заданной системе уравнений, fo

Усилители i/k с большим коэффициентом усиления играют роль регуляторов (нуль-органов); схему можно рассматривать в этом случае как систему регулирования с п регулируемыми параметрами и таким же числом постоянных возмущений.

Для устойчивости системы необходимо, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения

и-И К(р)

= О (5.53)

были меньше нуля

Выполнение условия (5.53), в котором Е - единичная матрица и К {р) -j операторный ксТэффициент усиления усилителя, зависит от вида матрицы А, а также от вида операторного выражения К{р). Основное преимущество схем рассмотренного типа (с усилителями) - возможность моделирования с их помощью линейных систем широкого класса, не ограниченного требованием симметричности соответствующей матрицы. Однако эти схемы не универсальны, так как они устойчивы не для всякой системы линейных уравнений, а лишь для тех, для которых выполняются условия сходимости итерационного процесса.

Метод сведения к системе дифференциальных уравнений. При реализации метода с помощью АВМ в общем случае производится решение системы дифференциальных уравнений вида

- = ±fi (Xi .....Хп), i, }=\, .. , п.

По существу задача сводится к решению системы определяющих уравнений, в которой производные обращаются в нуль, когда корни системы найдены. Различные комбинации индексов i, / и знаков правых частей в системе уравнений дают 2п! вариантов систем определяющих уравнений. Только некоторые из них устойчивы и действительно определяют решение данной системы уравнений. На практике устойчивые системы находятся посредством проб.

Пусть требуется решить уравнение вида sin х = х. Составим дифферен-dx

циальное уравнеиие = sin л; - х.

Начальные условия можно выбрать произвольно в интервале, в котором определено решение. Если это решение со временем стремится к некоторому постоянному значению Xg, то это значение и будет корнем заданного Трансцендентного уравнения. Действительно, = 0, и, следовательно, sinXj - - Хс = 0.

Определяющим будет также уравнение, отличающееся от приведенного выше знаком правой части, т. е. = х - sin х, однако решение его ие-

устойчиво. При любом малом возмущении х либо нарастает неограниченно, либо падает до нуля, так что его нельзя использовать для определения корня уравнения sin л; - х = 0.

Метод сканирования или метод обзора предусматривает последовательное обследование п-мерной области D путем изменения переменных х-, х.....

Хп ПО некоторому заранее заданному закону. При изменении переменных оцениваются зависимости fi{xi, .... х; одновременное обращение в нуль всех зависимостей fi свидетельствует о решении задачи определения значений х, Х2, Хп, удовлетворяющих заданной системе уравнений.

Наиболее простой способ изменения переменных Xi - это применение интегрирующих усилителей для образования линейно нарастающих или треугольных напряжений. Изменение напряжений должно происходить таким образом, чтобы за цикл обзора были просмотрены все сочетания переменных. Это можно сделать, например, при соответствующем разносе скоростей изменения переменных, так чтобы переменная изменялась со скоростью в раз большей, чем х; переменная Хд должна изменяться в свою очередь со скоростью в раз большей, чем Xg, и т. д. Обычно 1 = 2 = = а = 10...50.

Прн небольшом числе переменных метод сканирования успещно сочетается с возможностью использования электронно-лучевого индикатора для определения корней. Развертка луча производится в соответствии с изменением любых двух или трех из общего числа переменных; эти переменные должны изменяться с максимальными скоростям. В момент выполнения равенств fi(Xi,..., х ) = О, i = 1..... п производится подсветка луча.

Определение корней полиномов. Методика определения корней полиномов с помощью АВМ аналогична методике решения систем конечных уравнений и предусматривает предварительное преобразование полинома

f (г) = а г + а ,г -1 + . . + аг + а

заменой переменной г = х -\-iy, г = р (cos 6 + г sin 6) или г = ре* так, что с помощью элементов АВМ производится отыскание корней системы двух конечных уравнений, одно из которых используется для определения действительных, а второе - мнимых частей каждого из корней.

Так, после подстановки г = х + iy многочлен может быть преобразован к виду

/(2) = и(х, у) + iv{x. у). Значения х и у, одновременно удовлетворяющие условиям и{х, у) = 0; v(x, у) = 0,

и являются действительными и мнимыми частями корней.

Из возможных способов определения корней пплиномов преимущество получил способ сканирования (обзора), так как при небольшом числе переменных он дает достаточно наглядное представление результатов решения и требует минимального состава дополнительной к вычислительным элементам обслуживающей аппаратуры.

Очень важно и то обстоятельство, что на экране индикатора можно сразу наблюдать все корни полинома.

Методы поочередного изменения переменных. К методам, предполагающим поочередное изменение искомых переменных, относятся метод Гаусса - Зейделя и метод минимизации, реализацию которых можно производить вручную.

При отыскании корней- итерационным методом Гаусса - Зейделя по очередно изменяют переменные Xj,..., Хп так, чтобы изменение переменной x-i обращало в нуль зависимость fi(Xi,..., %), изменение переменной х - зави-

симость /г {хъ-, Хп) и т.д., до получения системы значений х$.....ж , при

которой удовлетворяется условие

ft(xt,x,----л: ) = 0, г=1.

Метод минимизации отличается от метода Гаусса Зейделя тем, что последовательное изменение переменных Xi, .... Хо производится при конт роле за величиной

1 = 2[/Л%.....* )Р

V-=\fl(H.....*п) 1-

Переход от изменения одной переменной к изменению другой производится при достижении минимумов зависимостей l{x, т. е. прн достижении

точек, где ~-<t=0.

При решении системы линейных алгебраических уравнений метод минимизации предполагает сведение к минимальному значению функции

или . ,

V- = ii ]Ч1 . (5-55J

t=-l

где = 2 afe - 6 / = I. 2.....п.

Этот метод не требует предварительного преобразования уравнений, так как итерационный процесс при подборе корней вручную всегда сходится при использовании (5.54) и сходится с достаточно большой вероятностью при (5.55).

При применении метода минимизации или метода Гаусса-Зейделя для отыскания решения системы нелинейных уравнений может оказаться, что вся область, в которой ищется решение, распадается иа отдельные области притяжения , каждая из которых связана со своим корнем. Это приводит к тому, что для отыскания всех корней следует предварительно отыскать все области притяжения . Это можно осуществить методом грубого скаии-

рования. Вблизи нулей функции И- = 2 I* = 2 I I семейство кривых

V- - const представляет собой систему замкнутых и вложенных одна в другую поверхностей.

Градиентные методы. В основе градиентных методов лежит построение такой системы дифференциальных уравнений, в которой изображающая точка при произвольных начальных условиях движется в я-мерном пространстве, в области притяжения какого-либо корня всегда в направлении, обратном