Разделы


Рекомендуем
Автоматическая электрика  Аналоговые вычисления 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 [ 103 ] 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143

- - (Р-)-Р) В е(х) = 9(0). + *L

может быть использована для определения зависимости Ь {х, t) ъ точке, соответствующей, например, концу теплообменника х = I, так что на АВМ должна быть реализована передаточная функция вида

Применение метода Монте-Карло для решения дифференциальных уравнений в частных производных на АВМ впервые было рассмотрено иа примере задачи Дирихле £13] для уравнения вида

ЪхЩ У границе С,

где Лi и Лг - постоянные; Bf и - произвольные функции независимых переменных; граница С представляет собой произвольную замкнутую кривую.

Вычислительный процесс использует специально организованное случайное блуждание точки внутри области, которое начинается в исследуемой точке поля. Это блуждание заканчивается за конечный промежуток времени в точке границы С. Значение функции в этой точке фиксируется, и процесс повторяется. Если число блужданий достаточно велико, то математическое ожидание зарегистрированных значений на границе сходится к значению искомой функции и в рассматриваемой точке области.

Для реализации блуждания используются две электрические цепи, реакции которых на белый шум описываются следующими уравнениями!

. g + Bix = fi(0:

где Fi{f) и f 2(0 - гауссовы белые шумы с нулевыми математическими ожиданиями и нулевой взаимной корреляционной функцией, с дисперсиями, равными соответственно Af и А.

Рассмотрим в качестве примера уравнение Лапласа. В этом случае вторые члены в уравнениях, задающих движение, исчезают, т. е. для задания траектории блуждания достаточно использовать лишь интегрирующие усилители.

В схеме реализации метода используются два генератора случайных функций, выходные напряжения которых поступают на интегрирующие усилители. Выходные напряжения усилителей поступают на входы электроннолучевого индикатора, экран которого закрыт маской с границами, соответствующими границам данной области. Значения потенциала на границе С заданы и равны ui{x, у). Перед началом процесса блуждания на интегрирующих усилителях задаются начальные значения переменных х и у (координаты точки, в которой ищется решение). При подходе изображающей точки к границе области интегрирование выключается н по значениям координат точки границы {Xi, yi), к которой подошел луч индикатора, определяется значение функ-

На втором этапе для выбранного значения х = х подбирается выражение, аппроксимирующее зависимость в (р). Полученная в результате аналитического решения (5.48) зависимость



ции UQ(xi, у{). Описанный процесс повторяется многократно. Значение Уо) определяется по формуле

N 1=1

где N - количество реализаций случайного процесса.

Метод Монте-Карло может быть использован и для решения нестационарных задач. При этом длительность блуждания должна быть ограничена моментом времени, для которого требуется определить значение неизвестной функции.

6. Методы решения систем конечных уравнений

В инженерной практике и в научно-исследовательской работе часто приходится исследовать установившиеся процессы, задача изучения которых сводится к необходимости решения системы п конечных уравнений для п переменных вида

fi(xi, ...,х = 0. / = 1. , .я. (5.49)

Частным случаем является система линейных алгебраических уравнений

2 ах - Ь. = 0, i=l.....п. (5.50)

К настоящему времени предложено и осуществлено в различных вариантах шесть основных методов решения систем конечных уравнений: метод непосредственного электрического моделирования заданной системы, метод сведения заданной системы конечных уравнений к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, метод сканирования (обзора), итерационный метод Гаусса - Зейделя, метод г)., с 1С минимизации и градиентные методы,

вне;ия Д-П одаРО УР- Метод непосредственного модели-

ия \o.oi). рования заданной системы уравнений

предусматривает построение схем, работа которых описывается той же системой конечных уравнений, что и подлежащая решению. Схемы этого типа обычно содержат иуль-оргаиы, на выходах которых образуются напряжения, соответствующие значениям искомых переменных.

Допустим, что необходимо иайти корень трансцеидеитного уравнения вида

sinju -Хл; = 0. (5.51)

Схема электрического моделирования этого уравнения показана на рис. 5.16. Работа схемы описывается выражением (с точностью до масштабов и знаков)

(sin X - Кх) К = X,

где /С - коэффициент усиления суммирующего усилителя, работающего в Качестве нуль-органа. При достаточно большом коэффициенте К работа схемы описывается уравнением (5.51).




W W V7

1-У/-

Рассмотрим применение метода непосредственного моделирования к решению систем линейных алгебраических уравнений вида (5.50).

Решая эту систему итерационным методом, получим на некотором шаге

2 £fe4 + *£ = i-

Для сходимости итерационного процесса достаточно, чтобы с изменением переменных л;, все стремилцсь к нулю. Это условие может быть реализовано с помощью схем с усилителями, имеющими большой коэффициент усиления (рис. 5.17).

Схема представляет собой матрицу потенциометров aj, соответствующую-матрице коэффициентов заданной системы уравнений, и столбец потенциометров, реализующих свободные члены уравнений 6,-,

Потенциометры питаются от выходов усилителей У1, ...

yi, Уп с большим

коэффициентом усиления. Для задания коэффициентов обоих знаков служат усилители перемены знака УГ, УЧ,..., Уп. Столбец потенциометров свободных членов питается от источника постоянного напряжения Ец.

Напряжения, снимаемые с потенциометров, расположенных в одной строке, суммируются с помощью резисторов ?,соединенных в звезду в точках Si.

Обозначим напряжение на входе k-TO усилителя через е,

а на выходе через и. Применяя закон Кирхгофа к точке S, получаем

Рнс. 5.17. Схема моделирования

системы (5.50).

2 tt fe + *i0=Cn+ 1)6;.

Так как = - Ке£, то

(5.52)

Коэффициент усиления К можно сделать настолько большим, чтобы членами вида Щ ьюжно было пренебречь.




1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 [ 103 ] 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143

Яндекс.Метрика
© 2010 KinteRun.ru автоматическая электрика
Копирование материалов разрешено при наличии активной ссылки.