Для сокращения объема аналогового оборудования целесообразно использовать частичное моделирование уравнений динамики, охватывающее при сканировании лишь некоторую часть области. Способы построения и задания закона сканирования могут быть те же, что и в случае моделирования замкнутой системы уравнений динамики; сканирование всей области при час--тичном моделировании осуществляется последовательным использованием системы уравнений динамики на различных подобластях. Порядок перехода от одной подобласти к другой может быть различным. Тан, в случае простого итеративного метода полностью замкнутая система уравнений динамики для данной области разбивается на отдельные блоки с одинаковым числом компонент (уравнений), пересечение которых составляет одну компоненту полного оператора внутренних связей Р. Один такой блок и образует частичную систему уравнений динамики.

Обход области осуществляется многократно до тех пор, пока результаты предьщущего и последующего полных обходов не совпадут (при заданной точности).

При решении нестационарных задач метод сканирования используется применительно к уравнениям, записанным для отдельных временных слоев, которые легко получаются путем конечно-разностной аппроксимации в неявной форме производных по времени (k = 1,2). Сканирование производится последовательно для дискретно выбранных значений tf.

Общим свойством всех уравнений динамики типа (5.43) является неустойчивость определяемого ими закона движения точек, т. е. при моделировании погрешность в задании начального положения точек приводит к обра- зованию накапливающейся ошибки. Неустойчивость усложняет поиск недостающих начальных параметров траекторий точек.

Методы суперпозиции поля. Основной чертой методов суперпозиции поля (рис. 5.11), применяемых к решению линейных уравнений в частных производных, является представление искомых функций в виде бесконечных рядов, члены которых образуются с помощью блоков и узлов аналоговой машины. К методам, предполагающим построение функциональных рядов, относятся методы разделения .переменных, гармонических функций и Трефтца. Для этих методов характерно обязательное выполнение следующих основных эта-noBi

построение членов ряда, образующего искомое решение;

определение коэффициентов в разложении граничной (или начальной - в случае нестационарных задач) функции по значениям образованных на первом этапе членов ряда на граничном контуре (или в начальный момент времени);

построение искомого решения на произвольных контурах внутри области (в произвольные моменты времени).

Различие указанных методов состоит, главным образом, в способе образования членов ряда. Так, для метода разделения переменных в качестве членов ряда используются произведения функций, каждая из которых зависит только от одной независимой переменной. В методе гармонических функций членами ряда являются известные сферические функции. Метод Трефтца предполагает выбор в виде членов ряда линейно-независимой системы частных решений заданного уравнения. Такую систему можно получить с помощью метода сканирования, причем для упрощения - на прямоугольнике. Необходимость построения функциональных рядов, хотя и в несколько специфической постановке, возникает и при решении задачи вариационным методом, например, методом Канторовича.

Метод разделения переменных применим при решении различных краевых задач на областях, ограниченных прямыми, параллельными координатным осям, включая и нестационарные задачи. Последовательность выполне-

+ 4 = 0; (5.44)

-f Ха2ф = о. . . (5.45)

.Значения Я, при которых функции ф(х) удовлетворяют уравнению (5.44) и заданным краевым условиям, называются собственными значениями, а соответствующие им функции ф(х) - собственными функциями.

Общее решение представляет собой бесконечную сумму по параметру произведений частных решений уравнений (5.44)и (5.45):

и (X, 0 = 2 Mi V\ xe-f.

Решение задачи делится на несколько этапов. На первом эгапе определяются собственные значения Я,;, начиная от низшего, для чего используется уравнение (5.44). В схеме электрического моделирования уравнения второго порядка coiбcтвeниыe значения определяются последовательным подбором значений Я,, удовлетворяющих граничным условиям.

На втором этапе определяются коэффициенты Ai и В(. Обычно значение коэффициента В, принимается равным единице, а при определении Ai используется свойство ортогональности собственных функций:

9( W 9/ (X) dx = 0 при }ф i; \ 9( (X) <jp,. (х) dx = N при / = I.

так что определение Л, можно совместить с определением собственных значений и выполнить непосредственно с помощью схемы электр ического моделирования.

На третьем этапе образуется зависимость от двух переменных либо при фиксированных значениях f, либо при фиксированных значениях х. Для этого составляется схема электрического моделирования, содержащая п схем для образования зависимостей ф,(х), п схем для образования зависимостей Ai\ii(f), п схем перемножения для образования произведений Лф,- (х) 4;(0 и один выходной суммирующий усилитель.

Метод гармонических функций пригоден при решении однородных эллиптических уравнений для произвольной краевой задачи на области, ограни-

ния операций при использовании этого метода можно проиллюстрировать на примере одномерного уравнения теплопроводности

дЧ ди

..для X б (0,L),f б (O.ffe). Решение находится в виде произведения вспомогательных функций ф(х) и <\i{t), подставляя которое в исходное уравнение, можно разделить переменные и приравнять обе части равенства постоянной величине Я:

1 dt 1. д±

<t{x) дх~ aait) dt~

откуда получаются два уравнения . . .

ченной произвольным контуром Г. Пусть задано однородное эллиптическое уравнение вида

L[u(x,y)]=0 (5.46)

с краевым условием

P[ (n]=/(s).

где!, - дифференциальный оператор; Р - линейный или дифференциальный оператор.

Если задан бесконечный ряд решений уравнения (5.46) Ui(x, у), Ыа(х, у). .... то оператор Р [ы (Г)] образует на граничном контуре Г некоторую систему функций дуги s:

Р К-(-=! 2----

Если функцию f{s) можно разложить в ряд по функциям <р,-(s):

/(s)=] C,9,(s). i=l

решение уравнения (5.46) можно записать в виде

и {X, {/) = 2 У)-

Здесь Б качестве щ {х, у) используются сферические функции, которые в полярных координатах имеют вид рsin (г6Фг) где р-радиус-вектор, а е - полярный угол.

Методы поточечного просчета поля. В ряде случаев при решении уравнений в частных производных можно ограничиться определением искомой функции в одной или нескольких наперед заданных точках поля.

Среди методов поточечного просчета поля наиболее распространенными являются метод сведения к интегральным уравнениям, операционный метод и метод Монте-Карло. Операционный метод (метод преобразования Лапласа) предполагает замену дифференциального уравнения для неизвестной функции уравнением ее изображения, которое может быть найдено в результате решения этого уравнения, после чего выполняется переход к оригиналу искомой функции.

В качестве примера рассмотрим уравнение теплообменника {1]

g + .g = P(e* e), (5.47)

где Р - постоянный коэффициент; 6* - известная температура вторичной среды; V - скорость теплоносителя.

Используя преобразования Лапласа и вводя оператор дифференцирования по времени р, преобразуем (5.47) к обыкновенному дифференциальному Уравнению, в котором независимой переменной является координата х:

+ (Р + Р)в=ре*. (5.48)

Образование зависимости 6 (х) методом электрического моделирования выполняется в два этапа. На первом этапе с помощью АВМ отыскивается семейство кривых Цх) при различных значениях параметра р. Для этого дот статочно промоделировать уравнение (5.48) при нескольких значениях р.