Рассмотрим в качестве примера нелинейное двумерное уравнение типа

дх + ф2

(5.38)

решение которого требуется провести на квадрате (рис. 5.13). Нанесем на рассматриваемую область сетку из п линий, параллельных координатным осям, с одинаковым расстоянием между ними h (шаг сетки). В узлах сетки определим функцию и, которую будем искать как приближенное решение уравнения (5.38). Модель этого уравнения при решении его методом полной дискретизации пространства топологически соответствует сеточной области, показанной на рис. 1.10. Она представляет собой сеть операционных элементов, связанных между собой так же, как узлы исходной графической сетки. Каждый операционный элемент (рис. 5.14) в данном случае представлен в виде электрической схемы, содержащей блок нелинейности БН, образующий зависимость X (и,. j), блок перемножения БП, 6.ЯОК интегрирования и блок суммирования для образования конечно-разностного аналога произ-\ди дРи

водных

Рис. 5.14. Операционная схема элемента

модели для решения уравнения (5.38).

idx ду\

Аппроксимацию производных можно выполнить с использованием следующих зависимостей:

t./-fl- f./-l .

дх h ду h

(5.39)

Отсюда следует, что суммирующий усилитель можно настроить на выполнение операции

4 / + £+1, / + % j-i + , - % г

Рассмотренный случай можно определить как замкнутое моделирование полностью дискретизованного пространства, поскольку здесь используется полная модель искомого поля, замкнутая относительно граничной поверхности Г. На выходах модели образуются параллельно все компоненты функции и.

Иногда для получения решения удается использовать модель пространства, отображающую часть области G. Эта модель многократно используется для замещения различных частей этой области, участвуя в построенной тем или иным образом итеративной процедуре, ieтoд частичного моделирования полностью дискретизованного пространства (в тех случаях, когда его решение приводит к получению решения) позволяет существенно сократить объем требуемого оборудова1ия, правда, при значительном увеличении времени решения. Для реализации этого метода можно использовать различные структуры АВМ с последовательным выполнением операций.

Методы сканирования пространства так же, как и методы полной дискретизации пространства, используют конечно-разностное представление

дифференциальных операторов, входящих в уравнение. В отличие от последних методы сканирования основаны на дискретном представлении временной переменной, если она входит в уравнение, и непрерывном представлении одной из пространственных переменных. Методы сканирования можно использовать при решении как линейных, так и нелинейных уравнений с граничными условиями различных типов. При реализации их на АВМ требуется сравнительно небольшой объем оборудования. Правда, длительность решения Задачи возрастает, а процедура решения в некоторых случаях представляет собой достаточно сложный вычислительный процесс. Рассмотрим эллиптическое уравнение общего вида

и , , ди , г\ди , ди , г . /с лп\

где А, В, С, D, Е,<Р, Н - известные функции пространственных переменных, заданные на прямоугольнике 0<<х<а, 0<{/<<6, с граничными условиями

\х=о = Ъ (у): lj/=6 = ¥4 ()-

На интеграль!ой поверхности и{х, у), принадлежащей уравнению (5.40), -выберем систему п - I точек (м,-, xi, yi) с координатами lq>i(b/n); 0; Ып], lq>i(2b/n); 0; 2b/n\,..., которые представляют собой геометрическое изображение в пространстве (и, х, у) значений граничной функции (pi(y), взятых в равноотстоящих с шагом Ь/п точках участка границы л = 0; О < < Л

Рассматривается непрерывный обход (сканирование) заданной области -от участка границы ж=0;0<;{/<6до участка х = а, так что выбранные точки на интегральной поверхности участвуют в движении, как бы образуя некоторую связанную механическую систему материальных точек. Движение 1-й точки можно задать в параметрической форме с помощью трех уравнений, два из которых в случае равномерного поступательного сканирования имеют вид

Xi = k-z; у. = ib/n, (5.41)

где т - время; k - постоянный коэффициент.

Третье уравнение строится таким образом, чтобы траектория движения г-й точки лежала на интегральной поверхности. Оно получается из (5.40) подстановкой вместо х и у уравнений (5.41) и коиечно-разностной аппроксимацией производных по у с шагом h = b/n, что может быть выполнено с использованием формул (5.39):

М, yt) + Bi, ,.) J + C(x. у,) X

X - 2м, + , ,] + kD (т, у.) + 2ЛЕ( &i) Е .-+, -

- + kF (т:. У{) f = km (X, {/,), О < т a/k. (5.42)

Уравнения (5.42) составляются для вСех точек с номерами i = 2, 3,.. л - 2. В уравнение для первой точки вместо должна входить

известная функция (ftix), а в уравнение для (я - 1)-й точки - функция ф2(ж).

По существу, функции иц (т), щ (т), ... , M j (т) после замены х = x/k

ai о-1/

и, о-

3>-

>>-(£>]

Рис. 5.15. Схема (а) и обобщенная схема (б) моделирования уравнений динамики.

где D дифференциальный оператор (в данном случае второго порядка, так как такой порядок рассматриваемого уравнения); Р - оператор внутренних связей, определяющий взаимодействие между соседними точками пространства, обусловленное внутренними силами поля; F - заданная функция времени, характеризующая внешнее воздействие на исследуемое поле.

Уравнению (5.43) соответствует обобщенная схема моделирования уравнения динамики по методу сканирования, показанная на рис. 5.15, б.

Практически решение уравнений динамики должно производиться многократно, так как начальные условия для этих уравнений заданы не полностью: известны лишь значения напряжения в начальный момент времени т = О на выходах одного из интегрирующих усилителей. Эти значения соответствуют граничным условиям на том конце области С, с которого начинается движение. С помощью многократного обхода области можно доопределить начальные параметры траектории точек на поверхности и(х, у), с тем чтобы ее координаты в конце движения совпадали с заданными граничными условиями на этом участке границы.

представляют собой приближенные решения исходного уравнения на равноотстоящих прямых у = Ь/п, у = 2й/ , .... у = ~ Ь, проведенных в

заданной области. Полученная система обыкновенных дифференциальных Зуравнений может быть решена с помощью АВМ с операционными усилителями.

Схема моделирования одного урав-dui,t нения динамики (5.42) показана на

лг рис. 5.15. а.

Уравнения (5.42) в матричной форме имеют вид

Du= Ри+ f(T), (5.43)