Методы дискретизации пространства

Методы сканирования пространства

Замкнутое моделирование поля

Частичное моделирование поля

Метод замкнутого сканирования поля

Методы приведения к устойчивым формулам движения

Метод суперпозиции поля

Двойные ряды

Методы частичного

сканирования пространства

Конечно-разностные методы решения нестационарных задач

Метод Трефтца

Метод разделения переменных

Метод поточечного просчета поля

Метод гармонических функций

Вариационные методы

Метод Монте-Карло

Методы решения задач в специальной постановке

Разветвленные

вычислительные

процессы

Операционные методы

Методы приведения к интегральным уравнениям

Методы Ритца-Галеркина

Рис. 5.11. Классификация алгоритмических методов решения уравнений в частных производных на АВМ.

Алгоритмические методы. Сокращение объема необходимого вычислительного оборудования и расширение класса решаемых задач может быть достигнуто при использовании алгоритмических методов решения уравнений в частных производных. Алгоритмические методы использования средств АВТ предполагают последовательное использование аналоговых устройств , по некоторой наперед заданной программе. Все многообразие алгоритмических методов, эффективных при постановке уравнений в частных производных на АВМ, удобно представить в виде системы содержащей пять, основных групп методов (рис. 5.11): полной дискретизации пространства (частичное моделирование поля), сканирования пространства, суперпозиции, поточечного просчета поля и решения задач в специальной постановке.

Содержание методов частичного моделирования полностью дискретизованного пространства и сканирования пространства сводится к замене различными способами пространственно-временного континуума, в котором ищется решение задачи, совокупностью принадлежащих ему дискретно выбранных точек и непрерывных линий одного измерения, на которых строится приближенное решение исходной задачи.

Методы суперпозиции поля предполагают возможность представления решения в виде суммы (или интеграла) некоторых частных решений задачи, образующих замкнутую полную систему функций и разложимых на функции одной переменной.

Методы поточечного просчета поля позволяют определять значение искомого поля в одной или нескольких отдельно взятых точках пространства; при этом исключается необходимость просчета (даже приближенного) всех значений поля.

Группа методов для решения задач в специальной постановке включает все другие методы, которые используются главным образом при решении специфических задач. Характерным для этих методов является необходимость использования разветвленных вычислительных процессов, построенных на основе операций, выполняемых АВМ.

Алгоритмические процессы, используемые при решении уравнений в частных производных, могут быть реализованы с помощью различных аналоговых вычислительных систем с последовательным выполнением операций. В наиболее, простом случае управление последовательностью выпрлнения операций, оценку результатов и запоминание промежуточных данных осуществляет оператор. В наиболее сложном случае выполнение этих функций возлагается на ЦВМ, так что при этом образуется аналого-цифровой комплекс. В качестве аналоговой машины может использоваться как сеточная АВМ, так и АВМ с операционными усилителями.

Методы дискретизации пространства. Требуется решить параболическое уравнение вида

r = LM, (5.35)

где L -* дифференциальный оператор, содержащий частные производные по пространственным переменным (трем переменным - в трехмерном случае); t - время.

Задачу требуется решить в некоторой области G, ограниченной,поверх-ностью Г, на которой заданы граничные условия первого, второго или третьего родов. В области G выберем конечное число точек га, например, путем деления области на элементарные кубические объемы. В качестве такого конечного множества точек {gi) можно выбрать множество всех вершин кубов, полученных путем деления G плоскостями, параллельными координатным плоскостям. Определим значения искомой функции и(х, у, г, t) на этом дискретном множестве как решение вспомогательной задачи, полученной из уравнения (5.35) путем замены дифференциальных связей конечно-разностными

связями между значениями аппроксимирующей функции и в выбранных точках дискретного множества [gt}-

д - т-

(5.36)

где L - конечно-разностный оператор, приближенно аппроксимирзющий

оператор L.

Уравнение (5.36) представляет со-vjt) бой операторную форМу записи системы обыкновенных дифференциальных уравнений, решением которой является семейство функций {Mt(0}. приближенно определяющих значения искомого поля Б выбранных точках пространства как непрерывных функций времени.

Таким образом, схема электрического моделирования уравнения (5.35) по методу, использующему полную дискретизацию пространства и непрерывное представление функций во времени, должна содержать п операционных схем, выполняющих операции

Рнс. 5.12. Операционная схема элемента модели полностью дискре-тизованного пространства.

Of = h iUi Щ-v i-2 £+2-

где функция /(- i-я компонента оператора L.

(5.37)

Каждая операционная схема (рис. 5.12) состоит из функционального преобразователя ei и блока интегрирования, соединенных последовательно. На выходе блока интегрирования образуется напряжение, соответствующее функции Ui{f). Все операционные схемы работают параллельно, а выходы блоков интегрирования связаны со входами функциональных преобразователей в соответствии с уравнением (5.37). Операционные схемы, моделирующие узлы области G, прилегающие к границе Г, содержат также входы, к которым подключаются напряжения, пропорциональные заданным граничным значениям (в случае краевой задачи первого рода), или выходы схем, моделирующих еаданные граничные условия второго или третьего родов.